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2023届高三第一次大质量监测数学2022.09本试卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合M＝{x|x＋4x－3≤0}，N＝{x|(13)x≤3}，则M∩N＝A．[－4，－1]B．[－4，3)C．[－1，3)D．[－1，3]2．已知b＞0，则“a＞b＋1”是“a＞b＋1”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)＝cos2x2－x－2x的部分图象大致为4．在△ABC中，内角A，B，c所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是A．a＝5，b＝4，A＝π6B．a＝4，b＝5，A＝π4C．a＝5，b＝4，A＝5π6D．a＝4，b＝5，A＝π35．通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即5－12＝2sin18°．记m＝2sin18°，则1＋cos36°()m2－2·sin144°＝A．－2B．－2C．2D．5－16．已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a＝A．－3B．3C．－3或1D．3或17．设a＝221，b＝ln2521，c＝sin221，则A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b8．如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l(l＜r)．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜12时，sinx≈x－x36，扇形OAB的面积记为S，则ABS的值约为A．2l－r212l3B．2r－l212r3C．1l－r224l3D．1r－l224r3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，则下列不等式中一定成立的是A．ab≤14B．a＋b≥2C．2a＋2b≥22D．ba＋4b≥810．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则A．ω＝2B．f(x)的图象关于直线x＝2π3对称C．f(x)＝2cos(2x－π6)D．f(x)在[－5π6，－π3]上的值域为[－2，1]11．对于定义域为[0，＋∞)的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥0；②∀x≥0，y≥0，f(x＋y)≥f(x)＋f(y)，则称函数f(x)为“H函数”．下列结论正确的是A．若f(x)为“H函数”，则其图象恒过定点(0，0)B．函数f(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数在[0，＋∞)上是“H函数”C．函数f(x)＝[x]在[0，＋∞)上是“H函数”([x]表示不大于x的最大整数)D．若f(x)为“H函数”，则f(x)一定是[0，＋∞)上的增函数12．已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2和g(x)＝lnx＋x－2的零点，则A．x1＋x2＝2B．ex1＋lnx2＝2C．x1x2＞e2D．x12＋x22＜3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若sin(α＋π4)＝32，则tanα＋1tanα＝．14．已知△ABC的面积为23，AB＝2，AC＝4，则△ABC的中线AD长的一个值为．15．某容量为V万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗．假设每天流进和流出的水均为r万立方米，下雨和蒸发正好平衡．用函数g(t)表示经过t天后的湖水污染质量分数，已知g(t)＝g(0)e－rVt，其中g(0)表示初始湖水污染质量分数．如果V＝200，r＝4，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，至少需要经过天．(参考数据：ln10≈2.303)16．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f′(－x)＞2f(x)，且f(3)＝0，则不等式f(x)＞0的解集为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(10分)已知数列{an}满足a1＝12，a2＝1，2an＋2－an＝an＋1．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．18．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若C＝2A，a＝2，b＝3，求c；(2)若a2＋15b2＝c2，求证：3tanA＝2tanC．19．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60°，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．(1)若D为A1C的中点，求证：AD⊥A1B；(2)求二面角A－A1C－B1的正弦值．20．(12分)某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制(一方先胜三局即获胜，比赛结束)，比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分．已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12．(1)在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率．21．(12分)已知A′，A分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2－2．(1)求C的方程；(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．22．(12分)设函数f(x)＝xlnx，g(x)＝xx＋1．(1)若直线y＝12x＋b是曲线f(x)的一条切线，求b的值；(2)证明：①当0＜x＜1时，g(x)f(x)＞12x(x－1)；②∀x＞0，g(x)－f(x)＜2e．(e是自然对数的底数，e≈2.718)参考答案：1．C【分析】首先通过求解分式不等式化简集合M，然后利用指数函数的单调性化简集合N，最后利用集合间的交运算即可求解.【详解】∵40433xxx∴4{0}{|43}3xMxxxx∣由指数函数的单调性可知，1()33113xxxx，从而1{)3}{|1}3xNxxx∣(，故{|13}MNxx.故选：C.2．B【解析】从充分性和必要性两方面进行讨论即可.【详解】充分性：当3a，1b时充分性不成立；必要性：由1ab可得221121abbbb，即1ab，所以“1ab”是“1ab”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查充要条件的判定，涉及到不等式的性质，属于基础题.3．C【分析】结合已知条件，利用函数奇偶性可判断B；通过判断()fx在(0,)4上的符号可判断D；通过判断()fx在(0,)上的零点个数可判断AC.【详解】由题意可知，()fx的定义域为(,0)(0,)，因为cos2()22xxxfx，所以cos(2)cos2()()2222xxxxxxfxfx，故()fx为奇函数，从而()fx的图像关于原点对称，故B错误；当(0,)4x时，220xx且cos20x，此时cos2022xxxfx，故D错误；因为cos2yx在(0,)上有无数个零点，所以cos222xxxfx在(0,)上也有无数个零点，故A错误，C正确.故选：C.4．B【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.【详解】对于A：由正弦定理可知，2sinsinsin5abBAB∵ab，∴6BA，故三角形ABC有一解；对于B：由正弦定理可知，52sinsinsin8abBAB，∵ba，∴4BA，故三角形ABC有两解；对于C：由正弦定理可知，2sinsinsin5abBAB∵A为钝角，∴B一定为锐角，故三角形ABC有一解；对于D：由正弦定理可知，53sin1sinsin8abBAB，故故三角形ABC无解.故选：B.5．C【分析】将2sin18m代入，根据恒等变换公式化简，即可求得结果.【详解】2sin18mQ，21cos362sin144m222cos184sin182sin362cos182cos36sin362sin722sin72故选:C.6．C【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点,0Aa代入，并将切线有且仅有1条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可．【详解】设切点为0001,exxx，由已知得exyx，则切线斜率00exkx，切线方程为000001eexxxxxyx直线过点,0Aa，则000001eexxxxxa，化简得200110xax切线有且仅有1条，即2140a，化简得2230aa，即310aa，解得a3或1故选：C7．C【分析】根据π0,,sin2xxx，判断,ac的大小，由25222lnln1221212121ba，构造函数1ln1202fxxxx，利用导数判断单调性，即可得到ba.【详解】由不等式π0,,sin2xxx可得22sin2121，即ac；25222lnln1221212121ba，设12212ln120,,12211212xfxxxxbaffxxx，因为10,02xfx，所以fx在10,2上单调递增，所以当10,,002xfxf，所以2021f，即ba.所以bac.故选：C8．B【分析】由题可得2sin2lABrr，再根据扇形面积公式可得4sin2ABSllr，结合条件即得.【详解】设扇形OAB的圆心角为，则lr，在OAB中，2sin2sin22lABrrr，又12Slr，∴122sin42sin2ABlrlrlSlrr，又1022lr，∴323442sin222612lllrlrlrABlSrr.故选：B.9．ACD【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断.【详解】A选项：2124abab，当且仅当12ab时，等号成立，故A正确；B选项：2212abababab，所以2ab，当且仅当12ab时，等号成立，故B错；C选项：222222abab，当且仅当12ab时，等号成立，故C正确；D选项：44444248abbbbabaabababab，当且仅当4baab，即13a，23b时，等号成立，故D正确.故选：ACD.10．AC【分析】结合函数图像求出()fx的解析式，进而判断AC；利用代入检验法可判断B；利用