2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测数学试题(解析版)

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2023届高三第一次大质量监测数学2022.09本试卷共6页,22小题,满分150分。考试时间120分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|x+4x-3≤0},N={x|(13)x≤3},则M∩N=A.[-4,-1]B.[-4,3)C.[-1,3)D.[-1,3]2.已知b>0,则“a>b+1”是“a>b+1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)=cos2x2-x-2x的部分图象大致为4.在△ABC中,内角A,B,c所对的边分别为a,b,c,则下列条件能确定三角形有两解的是A.a=5,b=4,A=π6B.a=4,b=5,A=π4C.a=5,b=4,A=5π6D.a=4,b=5,A=π35.通过研究正五边形和正十边形的作图,古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用2sin18°表示,即5-12=2sin18°.记m=2sin18°,则1+cos36°()m2-2·sin144°=A.-2B.-2C.2D.5-16.已知过点A(a,0)作曲线y=(1-x)ex的切线有且仅有1条,则a=A.-3B.3C.-3或1D.3或17.设a=221,b=ln2521,c=sin221,则A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b8.如图是一个近似扇形的湖面,其中OA=OB=r,弧AB的长为l(l<r).为了方便观光,欲在A,B两点之间修建一条笔直的走廊AB.若当0<x<12时,sinx≈x-x36,扇形OAB的面积记为S,则ABS的值约为A.2l-r212l3B.2r-l212r3C.1l-r224l3D.1r-l224r3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.设a>0,b>0,a+b=1,则下列不等式中一定成立的是A.ab≤14B.a+b≥2C.2a+2b≥22D.ba+4b≥810.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则A.ω=2B.f(x)的图象关于直线x=2π3对称C.f(x)=2cos(2x-π6)D.f(x)在[-5π6,-π3]上的值域为[-2,1]11.对于定义域为[0,+∞)的函数y=f(x),若同时满足下列条件:①∀x∈[0,+∞),f(x)≥0;②∀x≥0,y≥0,f(x+y)≥f(x)+f(y),则称函数f(x)为“H函数”.下列结论正确的是A.若f(x)为“H函数”,则其图象恒过定点(0,0)B.函数f(x)=1,x为有理数,0,x为无理数在[0,+∞)上是“H函数”C.函数f(x)=[x]在[0,+∞)上是“H函数”([x]表示不大于x的最大整数)D.若f(x)为“H函数”,则f(x)一定是[0,+∞)上的增函数12.已知x1,x2分别是函数f(x)=ex+x-2和g(x)=lnx+x-2的零点,则A.x1+x2=2B.ex1+lnx2=2C.x1x2>e2D.x12+x22<3三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若sin(α+π4)=32,则tanα+1tanα=.14.已知△ABC的面积为23,AB=2,AC=4,则△ABC的中线AD长的一个值为.15.某容量为V万立方米的小型湖,由于周边商业过度开发,长期大量排放污染物,水质变差,今年政府准备治理,用没有污染的水进行冲洗.假设每天流进和流出的水均为r万立方米,下雨和蒸发正好平衡.用函数g(t)表示经过t天后的湖水污染质量分数,已知g(t)=g(0)e-rVt,其中g(0)表示初始湖水污染质量分数.如果V=200,r=4,要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下,至少需要经过天.(参考数据:ln10≈2.303)16.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f′(-x)>2f(x),且f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知数列{an}满足a1=12,a2=1,2an+2-an=an+1.(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若C=2A,a=2,b=3,求c;(2)若a2+15b2=c2,求证:3tanA=2tanC.19.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,侧面AA1C1C是菱形,∠A1AC=60°,∠ACB=90°,AC=BC=2.(1)若D为A1C的中点,求证:AD⊥A1B;(2)求二面角A-A1C-B1的正弦值.20.(12分)某校组织围棋比赛,每场比赛采用五局三胜制(一方先胜三局即获胜,比赛结束),比赛采用积分制,积分规则如下:每场比赛中,如果四局及四局以内结束比赛,取胜的一方积3分,负者积0分;五局结束比赛,取胜的一方积2分,负者积1分.已知甲、乙两人比赛,甲每局获胜的概率为12.(1)在一场比赛中,甲的积分为X,求X的概率分布列;(2)求甲在参加三场比赛后,积分之和为5分的概率.21.(12分)已知A′,A分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点,B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上,满足PF⊥A′A,AB∥OP,|FA′|=2-2.(1)求C的方程;(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.22.(12分)设函数f(x)=xlnx,g(x)=xx+1.(1)若直线y=12x+b是曲线f(x)的一条切线,求b的值;(2)证明:①当0<x<1时,g(x)f(x)>12x(x-1);②∀x>0,g(x)-f(x)<2e.(e是自然对数的底数,e≈2.718)参考答案:1.C【分析】首先通过求解分式不等式化简集合M,然后利用指数函数的单调性化简集合N,最后利用集合间的交运算即可求解.【详解】∵40433xxx∴4{0}{|43}3xMxxxx∣由指数函数的单调性可知,1()33113xxxx,从而1{)3}{|1}3xNxxx∣(,故{|13}MNxx.故选:C.2.B【解析】从充分性和必要性两方面进行讨论即可.【详解】充分性:当3a,1b时充分性不成立;必要性:由1ab可得221121abbbb,即1ab,所以“1ab”是“1ab”的必要不充分条件.故选:B【点睛】本题主要考查充要条件的判定,涉及到不等式的性质,属于基础题.3.C【分析】结合已知条件,利用函数奇偶性可判断B;通过判断()fx在(0,)4上的符号可判断D;通过判断()fx在(0,)上的零点个数可判断AC.【详解】由题意可知,()fx的定义域为(,0)(0,),因为cos2()22xxxfx,所以cos(2)cos2()()2222xxxxxxfxfx,故()fx为奇函数,从而()fx的图像关于原点对称,故B错误;当(0,)4x时,220xx且cos20x,此时cos2022xxxfx,故D错误;因为cos2yx在(0,)上有无数个零点,所以cos222xxxfx在(0,)上也有无数个零点,故A错误,C正确.故选:C.4.B【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.【详解】对于A:由正弦定理可知,2sinsinsin5abBAB∵ab,∴6BA,故三角形ABC有一解;对于B:由正弦定理可知,52sinsinsin8abBAB,∵ba,∴4BA,故三角形ABC有两解;对于C:由正弦定理可知,2sinsinsin5abBAB∵A为钝角,∴B一定为锐角,故三角形ABC有一解;对于D:由正弦定理可知,53sin1sinsin8abBAB,故故三角形ABC无解.故选:B.5.C【分析】将2sin18m代入,根据恒等变换公式化简,即可求得结果.【详解】2sin18mQ,21cos362sin144m222cos184sin182sin362cos182cos36sin362sin722sin72故选:C.6.C【分析】设出切点,对函数求导得出切线的斜率,利用点斜式方程写出切线,将点,0Aa代入,并将切线有且仅有1条,转化为方程只有一个根,列方程求解即可.【详解】设切点为0001,exxx,由已知得exyx,则切线斜率00exkx,切线方程为000001eexxxxxyx直线过点,0Aa,则000001eexxxxxa,化简得200110xax切线有且仅有1条,即2140a,化简得2230aa,即310aa,解得a3或1故选:C7.C【分析】根据π0,,sin2xxx,判断,ac的大小,由25222lnln1221212121ba,构造函数1ln1202fxxxx,利用导数判断单调性,即可得到ba.【详解】由不等式π0,,sin2xxx可得22sin2121,即ac;25222lnln1221212121ba,设12212ln120,,12211212xfxxxxbaffxxx,因为10,02xfx,所以fx在10,2上单调递增,所以当10,,002xfxf,所以2021f,即ba.所以bac.故选:C8.B【分析】由题可得2sin2lABrr,再根据扇形面积公式可得4sin2ABSllr,结合条件即得.【详解】设扇形OAB的圆心角为,则lr,在OAB中,2sin2sin22lABrrr,又12Slr,∴122sin42sin2ABlrlrlSlrr,又1022lr,∴323442sin222612lllrlrlrABlSrr.故选:B.9.ACD【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断.【详解】A选项:2124abab,当且仅当12ab时,等号成立,故A正确;B选项:2212abababab,所以2ab,当且仅当12ab时,等号成立,故B错;C选项:222222abab,当且仅当12ab时,等号成立,故C正确;D选项:44444248abbbbabaabababab,当且仅当4baab,即13a,23b时,等号成立,故D正确.故选:ACD.10.AC【分析】结合函数图像求出()fx的解析式,进而判断AC;利用代入检验法可判断B;利用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