北京市通州区2022-2023学年高三上学期期末摸底考试数学

通州区2022—2023学年高三年级摸底考试数学试卷2023年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合21Axx，03Bxx，则AB（）A.01xxB.23xxC.13xxD.20xx2.等差数列na中，268aa，343aa，则na通项为（）A.516nB.511nC.38nD.35n3.抛物线28xy焦点坐标为（）A.4,0B.0,4C.2,0D.0,24.已知向量a，b满足2,4ab，310,16ab，则ab等于（）A.13B.13C.29D.295.设n为正整数，212nxx的展开式中存在常数项，则n的最小值为（）A.2B.3C.4D.56.ABC中，若3b，6c，π3B，则a等于（）A.6322B.3262C.32D.267.“2a”是“210aa”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知半径为1圆经过点2,3，则其圆心到直线3440xy距离的最大值为（）的的在的A.1B.2C.3D.49.要制作一个容积为3216πcm的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（）A.6cm，6cmB.362cm，332cmC.364cm，334cmD.8cm，33cm10.设点,Pxy是曲线22:1Cxyxy上任意一点，则点P到原点距离的最大值、最小值分别为（）A.最大值2，最小值63B.最大值2，最小值1C.最大值2，最小值63D.最大值2，最小值1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数21iz的共轭复数z______.12.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为___________.13.已知函数ln,0,xxafxaxax，若函数fx存在最大值，则a的取值范围为______.14.齐王与田忌赛马，田忌上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为______；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为______.15.已知数列na的前n项和为nS0nS，nT为数列nS的前n项积，满足nnnnSTST*nN，给出下列四个结论：①12a；②221nann；③nT为等差数列；④1nnSn.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数2sin22cos0fxxx的最小正周期为π.的（1）求的值；（2）把yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移π3个单位，得到函数ygx的图象，求函数gx的单调递增区间.17.如图，在四棱雉PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，2AB，4ADAP，M，N分别是BC，PD的中点.（1）求证:MN∥平面PAB；（2）再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值.条件①：ADMN；条件②：AMAN.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18.为了解AB、两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得A平台问卷100份，B平台问卷80份.问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为：5分、3分、1分，数据统计如下：好评中评差评A平台75205B平台6488假设用频率估计概率，且买家对AB、平台的满意度评价相互独立.（1）估计买家对A平台的评价不是差评的概率；（2）从所有在A平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在B平台购物的买家中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出好评的概率；（3）根据上述数据，你若购物，选择AB、哪个平台？说明理由.19.已知椭圆2222:1xyCab0ab的左、右顶点分别为,AB，且AB4，离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上不同于,AB的一点，直线PA，PB与直线4x分别交于点,MN.试判断以MN为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20.已知函数221xafxx.（1）当0a时，求曲线yfx在点0,0f处的切线方程；（2）求函数fx的单调区间；（3）当函数fx存在极小值时，求证：函数fx的极小值一定小于0.21.约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m0m除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为121,,,,kkaaaa12kaaa.（1）当4k时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；（2）当4k时，若21321,,,kkaaaaaa构成等比数列，求正整数a；（3）记12231kkAaaaaaa，求证：2Aa.通州区2022—2023学年高三年级摸底考试数学试卷2023年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】C【10题答案】【答案】B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】1i##i+1【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】e,【14题答案】【答案】①.16②.12##0.5【15题答案】【答案】①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1）1.（2）5π7π2π,2π1212kk，kZ.【17题答案】【答案】（1）证明见解析（2）33【18题答案】【答案】（1）1920（2）73400（3）选择A平台，理由见解析【19题答案】【答案】（1）22143xy（2）以MN为直径的圆过定点1,0，7,0.【20题答案】【答案】（1）2yx（2）答案见解析（3）证明见解析【21题答案】【答案】（1）8.（2）12kaa4k≥.（3）证明见解析.