山东省青岛第二中学2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题

2022-2023第一学期期末测试高三数学一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝2650xxx，B＝3xyx，则A∩B等于()A．[1,3]B．[1,5]C．[3,5]D．[1，＋∞)2．若复数z满足：1iz，则22zz的共轭复数的虚部为（）A．-2B．iC．0D．23．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（）A．184斤B．176斤C．65斤D．60斤4．已知随机变量X服从正态分布22,N，且1235PXPX，则150.75PX（）A．0.5B．0.625C．0.75D．0.8755．已知3cos234，则25sin6（）A．32B．144C．144D．346．设1F，2F是椭圆22143xy的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则12PFF△的面积为（）A．2B．3C．32D．527．已知函数4coscos1(0)2226xxfx在区间3,34ππ上单调递增，且在区间0,上只取得一次最大值，则的取值范围是（）A．30,4B．80,9C．28,39D．38,498．定义在R上的函数()fx满足1(1)()3fxfx，且当[0,1)x时，()1|21|fxx.若对[,)xm，都有2()81fx，则m的取值范围是（）A．10,3B．11,3C．13,3D．143二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足PAPB＝12.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（）A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得PDPE＝12C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得2MOMA10．已知函数cos3fxx，若fx在0,a上的值域是11,2，则实数a的可能取值为（）A．3B．23C．43D．53π11．对于伯努利数NnBn，有定义：001,C(2)nknnkkBBBn….则（）A．216BB．4130BC．6142BD．230nB12．已知函数sin2fxx（为正整数，π2）的最小正周期3π3π,42T，将函数fx的图象向右平移π6个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数fx的说法正确的是（）A．π6是函数fx的一个零点B．函数fx的图象关于直线5π12x对称C．方程12fx在0,π上有三个解D．函数fx在ππ,62上单调递减三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是______.14．已知抛物线2:4Cxy的焦点为F，过点F作倾斜角为60的直线l交C于A，B两点，过A，B分别作C的切线1l、2l，1l与2l交于点P，1l，2l与x轴的交点分别为M，N，则四边形PMFN的面积为______________．15．已知函数2256fxxxxx，则fx的最小值为____.16．已知函数11fxxmxaxmx有六个不同零点，且所有零点之和为3，则a的取值范围为__________．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．18．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个长方体形状的包装盒，E，F是AB边上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBxcm.(1)求包装盒的容积Vx关于x的函数表达式，并求出函数的定义域.(2)当x为多少时，包装盒的容积V（3cm）最大？最大容积是多少？19．已知函数12exfxax(1)函数fx为fx的导函数，讨论当0a时fx的单调性；(2)当1a时，证明：fx存在唯一的极大值点.20．已知数列na中，11a，22a，11232nnnaaan，，（1）求na的通项公式；（2）设3nnba，求ii14nb．21．已知直线方程为(2)(21)340mxmym，其中mR.(1)当m变化时，求点(3,4)Q到直线的距离的最大值及此时的直线方程；(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求AOB面积的最小值及此时的直线方程.22．已知函数1()ln2fxxxx．(1)求()fx的极值；(2)若2()()3gxxfxx，且1ab，证明：()()0gagb．参考答案1．C求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可由A中不等式变形可得：150xx，解得15x15A，由B中3yx得到30x，即3x3B，则AB35，故选C本题主要考查的是集合的交集及其运算，属于基础题．2．C根据给定条件，利用复数的乘方、加减运算计算即可判断作答.因1iz，则222(1i)2(1i)2i22i2zz，所以所求共轭复数为2，其虚部为0.故选：C3．A根据等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为na，公差为d，前n项和为nS，第一个孩子所得棉花斤数为1a，则由题意得，818717,8179962dSa，解得165a，8181184aad．故选：A4．C根据正态分布的对称性，由题中条件，直接求解即可.因为22,XN，1225PXPX并且20.5PX又因为1235PXPX，所以2255450.5PXPXPXPX，所以50.125PX所以250.50.1250.375PX，所以150.75PX故选：C5．C由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可因为3cos2cos20364，所以21cos273sin628，且322,2,622kkkZ，所以3,,644kkkZ，所以714sin684，所以2514sinsin4sin6664．故选：C．6．C由题意结合椭圆的定义求出1253,22PFPF，又因为1222FFc，由余弦定理可求出12cosFPF，再求出12sinFPF，由三角形的面积公式即可得出答案.因为椭圆的方程为：22143xy，则2,3,1abc，1F，2F是椭圆22143xy的两个焦点，P是椭圆上一点，因为点P到两个焦点的距离之差为1，所以假设12PFPF，则1212124PFPFPFPFa，解得：1253,22PFPF，又因为1222FFc，在12PFF△中，由余弦定理可得：22222212121212532322cos5325222PFPFFFFPFPFPF，所以124sin5FPF，所以12PFF△的面积为：1212115343sin222252SPFPFFPF.故选：C.7．C根据三角恒等变换化简fx，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.因为4coscos12226xxfx314sincossin122222xxx223sincos2sin13sincos2sin2226xxxxxx，因为fx在区间3,34ππ上单调递增，由x3,34ππ，则3,63646x，则3,?362462，解得81,9，即809；当0,x时，,666x，要使得该函数取得一次最大值，故只需5262，解得28,33；综上所述，的取值范围为28,39.故选：C.8．B根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.因为当[0,1)x时，()1|21|fxx，所以12,0?   2()122,12xxfxxx，又因为函数()fx满足1(1)()3fxfx，所以函数()fx的部分图像如下，由图可知，若对[,)xm，都有2()81fx，则113m.故A，C，D错误.故选：B.9．BC根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足1=2PAPB，设P（x，y），则2222(2)12(4)xyxy，化简得（x＋4）2＋y2＝16，所以A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得12PDPE，设D（m，0），E（n，0），则2222()2()xnyxmy，化简得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x轴上存在异于A，B的两点D，E使12PDPE，所以B正确；当A，B，P三点不共线时，12OAPAOBPB，可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；若在C上存在点M，使得2MOMA，可设M（x，y），则有22xy＝222(2)xy，化简得x2＋y2＋163x＋163＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，