广东省东莞市东华高级中学2023届高三上学期模拟考试数学试题

东华高级中学2023届高三年级上学期模拟考试数学本试卷共22题，满分150分,考试用时120分钟.一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共40分）1．已知集合24Ayyx，lg2Bxyx，则ABA．22,B．2,2C．0,2D．0,22．若复数z满足1izi，则||zA．12B．22C．2D．23．已知sinfxxx，命题P：0,2x，0fx，则A．P是假命题，0,02Pxfx￢：，B．P是假命题，000,02Pxfx￢：，C．P是真命题，0,02Pxfx￢：，D．P是真命题，000,02Pxfx￢：，4．在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是A．121B．221C．142D．175．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：32.4420lg20lgLDF，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减）单位为dB．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了18dB，则载波频率变为原来约（参考数据：lg20.3,lg30.5）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍6．已知定义域为R的函数fx满足：对任意的xR，有(2)2()fxfx，且当0,1x时，21log1fxx，则2023fA．0B．1C．2D．37．已知函数122,1log,1xxfxxx，则函数1yfx的图象是A．B．C．D．8．已知函数1lnfxkxxx，若0fx有且只有两个整数解，则k的取值范围是A．ln5ln2,3010B．ln5ln2,3010C．ln2ln3,1012D．ln2ln3,1012二、多项选择题（全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分，共20分）9．若“xM，||xx”为真命题，“xM，3x”为假命题，则集合M可以是A．5|xxB．|31xxC．|3xxD．|03xx10．若函数2ln1fxxax在区间2,上单调递增，则下列实数可以作为a的值的是A．4B．52C．2D．011．已知0a，0b，直线2yxa与曲线11xyeb相切，则下列不等式一定成立的是A．219abB．19abC．2255abD．22ab12．对于函数lnxfxx，下列选项正确的是A．函数fx的极小值点为1，极大值点为1B．函数fx的单调递减区间为,,ee，单调递增区为,00,eeC．函数fx的最小值为1e，最大值为1eD．函数fx存在两个零点1和1三、填空题(每小题5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上.)13．函数2235ln(2)xxyx的定义域为________.14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，也称取整函数，例如：1.32，3.43，已知11313xfx，则函数yfx的值域为________.15．ABCD、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和B不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是________.（用数字作答）.16．已知函数fx的定义域为R，22fx为偶函数，1fx为奇函数，且当0,1x时，fxaxb．若41f，则35792222ffff________.四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.）17．(10分)已知定义在R上的函数42xxkfx是奇函数．(1)求实数k的值；(2)若对任意的xR，不等式240fxtxfx恒成立，求实数t的取值范围．18．(12分)已知函数91log912xfxx，xR.(1)判断fx的奇偶性并证明；(2)若函数2931xfxxgxm，30,l2ogx，是否存在m，使得gx的最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.19．(12分)有9个外观相同的同规格砝码，其中1个由于生产瑕疵导致质量略有增加，小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码，设计了如下两种方案：方案一：每次从待称量的砝码中随机选2个，按个数平分后分别放在天平的左､右托盘上，若天平平衡，则选出的2个砝码是没有瑕疵的；否则，有瑕疪的砝码在下降一侧.按此方法，直到找出有瑕疵的砝码为止.方案二：从待称量的砝码中随机选8个，按个数平分后分别放在天平的左､右托盘上，若天平平衡，则未被选出的那个砝码是有瑕疵的；否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，每次再将该侧砝码按个数平分，分别放在天平的左､右托盘上，，直到找出有瑕疵的砝码为止.(1)记方案一的称量次数为随机变量X，求X的概率分布；(2)上述两种方案中，小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小？并说明理由.20．(12分)已知三个函数①()ln1fxx，②lg010()13105xxgxxx，，，③()42xhx.（1）请从上述三个函数中选择一个函数，根据你选择的函数画出该函数的图象（不用写作图过程），并写出该函数的单调递减区间(不必说明理由)；（2）把（1）中所选的函数记为函数()x，若关于x的方程()0xk有且仅有两个不同的根，求实数k的取值范围；（3）（请从下面三个选项中选一个作答）（I）若（1）中所选①的函数时，有1234()()()()fxfxfxfx，且1234xxxx，求1234xxxx的值；（II）若（1）中所选②的函数时，有123()()()gxgxgx，且123xxx，求123xxx的取值范围；（III）若（1）中所选③的函数时，有12()()hxhx，且12xx，求1244xx的值.21.(12分)为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(36)x．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)axx元(0)a，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．22．(12分)已知函数1lnxfxaeaxa，其中2ae，且0a.(1)当1a时，求fx的单调区间；(2)若fx只有一个零点，求a的取值范围.数学参考答案13.5,33+2，14.1,015.3016.017.(1)解：函数42xxkfx是定义域R上的奇函数，(0)0f，即010fk，解得1k．………………….2分此时22xxfx，则2222xxxxfxfx，符合题意；…………..4分(2)解：因为22xxfx，且2xy在定义域R上单调递增，2xy在定义域R上单调递减，所以22xxfx在定义域R上单调递增，…………..6分则不等式240fxtxfx恒成立，即24fxtxfx恒成立，…………..8分即24xtxx恒成立，即2140xtx恒成立，所以21440t，解得35t，即3,5t.…………..10分18．(1)证明：91()log(91)2xfxx定义域为R，9999991111()log(91)loglog1log22211l99999og1log19()22xxxxxxxfxxxxxxfxx则()fx为偶函数；…………..5分(2)解：9()(2l9o1)g()931931xxfxxxgxmm2(3)3xxm，…………..7分当30,l2ogx时，31,2x，令3xt，则2ytmt，1,2t，…………..8分当12m时，即2m，2ytmt在1,2上单调递增，题号123456789101112答案DCDBBACCABCDACDAD所以1t时，min10ym，解得1m，…………..9分当122m时即42m，2mt时，2min04my，解得0m不成立；…………..10分当22m时，即4m，2ytmt在1,2上单调递减，所以2t时，min240ym，解得2m不成立．…………..11分故存在满足条件的1m．…………..12分19．（1）由题知：1,2,3,4X，…………..2分1121118861222997CCCCC221,2C9CC9PXPX，2211222222211864186428642122222229759753CCCCCCCC+CCCCC213,4CCC9CCCC3PXPX，分布列为：X1234P29292913………….7分（2）由（1）知：22218123499933EX，…………..8分设方案二的称量次数为随机变量为Y，则1,3Y，…………..10分8889C1181,31C999PYPY，182513999EYEX，所以小明应选择方案一可使称量次数的期望较小.…………..12分20．（1）若选①，函数图象如下图所示：…………..2分由图象可知函数的单调减区间为：,0和1,2；…………..4分若选②，函数图象如下图所示：xy15101O1由图象可知函数的单调减区间为：0,1和10,；若选③，函数图象如下图所示：xy120.5O由图象可知函数的单调减区间为：1,2；（2）关于x的方程()0xk有且仅有两个不同的根yx与yk的函数图象有两个不同的交点，若选①，根据函数()fx图像可知，若yx与yk的图象有两个交点，此时0k；…………..8分若选②，根据函数()gx图像可知，若yx与yk的图象有两个交点，此时0k或1k；若选③，根据函数()hx图像可知，若yx与yk的图象有两个交点，此时02k；（3）若选①，如图所示：设12340fxfxfxfxmm，因为yx的图象关于1x对称，………..10分所以14,xx关于1x对称，23,xx关于1x对称，所以12341423224xxxxxxxx；…………..12分若选②，如图所示：xyy=mx3x2x115101O1设1230,1gxgxgxm，由图象可知：1231lglg30,15