广东省广州市执信中学2023届高三上学期第二次月考数学试卷

广州市执信中学2023届高三年级第二次月考数学第一部分选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合ixzRxA2|{的实部为0}，}|,|[{AxxyyB，}3|||{mZmC，i为虚数单位，则BCC为()A．}2,1,1,2{B．}1,1,2{C.}1,1{D．}2,2{2．己知抛物线)0(22ppxy的准线与圆07622xyx相切，则p的值为()A．21B．1C．2D．43．己知集合}012|{xxxA，Ax一个必要条件是ax，则实数a的取值范围为()A．0aB．1aC．2aD．1a4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A．16B．20C．24D．325．小桦班的数学老师昨天组织了一次小测，老师给了小桦满分100分，但实际上小桦有一处表述错误，告诉了小岍和小江，这一处错误需要扣4分，这一处错误小桦自己不会告诉老师，小岍有32的可能告诉老师，小江有41的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小桦的听写本上的得分期望)(XE()A．3298B．98C．3289D．976．若32125cos）（，则2sin2cos3的值为()A．95B．95C．910D．9107．设正实数zyx、、满足03422zyxyx，则zxy的最大值为()A．0B．1C．2D．38．在ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba，，，若ABCsinsin32sin，ab，则实数的最小值是()A．323B．323C．32D．32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的不得分．9．下列命题中，真命题的是()A．若回归方程6.045.0ˆxy，则变量y与x正相关B．线性回归分析中相关指数2R用来刻画回归效果，若2R值越小，则模型的拟合效果越好C．若样本数据1021,,,xxx的方差为2，则数据12,,12,121021xxx方差为8D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”10．已知nm,是空间中两条不同的直线，,为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不．正确．．的是()A．若m，则mB．若m，n，则nmC．若m，m，则//mD．若m，mn，则n11．已知双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线方程为02yx，双曲线的左焦点在直线05yx上，BA、分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PBPA，的斜率分别为21kk，，则21kk的取值可能为()A．43B．1C．34D．212．若)(xf图象上存在两点BA，关于原点对称，则点对],[BA称为函数)(xf的“友情点对”（点对],[BA与],[AB视为同一个“友情点对”）若0,0,)(23xaxxexxfx恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是()A．0B．20201C．e1D．20231第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．不等式xx1的解集为．14．已知向量ba，满足1||a，2||b，)2,3(ba，则|2|ba等于．15．已知21PP，是曲线|ln|2:xyC上的两点，分别以21,PP为切点作曲线C的切线,,21ll且21ll，切线1l交y轴于A点，切线2l交y轴于B点，则线段AB的长度为．16．对于集合A，B，定义集合}|{BxAxxBA且.己知等差数列}{na和正项等比数列}{nb满足41a，21b，nnnbbb212，233ba。设数列}{na和}{nb中的所有项分别构成集合A，B，将集合A-B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列}{nc，则数列}{nc的前30项和30S.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)己知二次函数函数cbxxxf2)(2过点)2,0(，且满足)2()1(ff.(1)求函数)(xf的解析式；(2)解关于x的不等式：)()12()(Raxaxf.18．(12分)如图，在ABC中，2AB，02cos2sin32BB，且点D在线段BC上．(1)若32ADC，求AD的长；(2)若DCBD2，24sinsinCADBAD，求ABD的面积．19．(12分)如图，三棱柱111CBAABC中，D是AB的中点．(1)证明：//1BC面CDA1；(2)若ABC是边长为2的正三角形，且1BBBC，601CBB，平面ABC平面CCBB11．求平面CDA1与侧面CCBB11所成二面角的正弦值．20．（12分）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节，己知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为21，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为61，53，m，其中10m.(1)若53m分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求m的范围．21．（12分）如图，已知点A是抛物线)0(22ppxy在第一象限上的点，F为抛物线的焦点，且AF垂直于x轴，过A作圆)10()1(:222rryxB的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于NM，两点，且直线AB的斜率为4．(1)求抛物线的方程及A点坐标；(2)问：直线MN是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．22．(12分)已知函数xexfxsin)(（其中71828.2e为自然对数的底数）．(1)求证：当),1[x时，21)(xf；(2)若不等式1)(axxf对Rx成立，求实数a的值.数学参考答案单选题：1-8题ACBADCBC9．CD10．ABD11.CD12．BD5．【解析】由题意可知X的可能取值为：96，100，则434113211)96(XP，41411321)100(XP，因此，97411004396)(XE.7．【解析】2234yxyxz，则134213413422xyyxxyyxyxyxxyzxy，当且仅当02xy时取等号，故zxy的最大值为1．故选：B．8．【解析】由ABCsinsin32sin，可得Abcsin32，由余弦定理得：Abccbacos2222，两式结合得：AAbbbAbacossin322sin122222，即AAAAba2sin322cos672sin321sin12222，即)32sin(34722Aba，),0(A，则当127A时，347)(max22ba，则3473471)(min22ab，故由ab可得其最小值为32347.11．【答案】CD．【解析】双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线方程为02yx，可得ab2，双曲线的左焦点在直线05yx上，即5c，由522ba，解得2a，1b，双曲线的方程为1422yx，由题意可得)0,2(A，)0,2(B，设),(nmP，可得1422nm，即有41422mn，可得414222221mnmnmnkk，0,21kk，则122121kkkk，由BA，为左右顶点，可得21kk，则121kk.12．【答案】BD．【解析】若)(xf有两个友情点对，则0a且xexy3与2axy在0x时有两个交点，则23axexx，xexa，即ay与xexy在0x时有两个交点，对于xexy，得xexy1，当)1,0(x时，xexy单调递增，当),1(x时，xexy单调递减，1x，ey1max，又0x时，0y，x时，0y，)(xf的大致图象为：要使ay与xexy在0x时有两个交点，则)1,0(ea，即)0,1(ea．故选.BD13．)1()0,1(14．2215．2ln4416．1632.17．【解析】(1)∵函数cbxxxf2)(2过点)2,0(，2)0(f，所以2c，即22)(2bxxxf，因为)2()1(ff，所以)(xf的对称轴为21x，所以21b，解得21b，故2)(2xxxf.(2)由(1)，022)()12()(2axxRaxaxf.①当0842a，即22a时，方程0222axx无解，此时解集为；②当0842a，即2a时，方程0222axx有两个相等的实数根，当2a时，解集为：}2{；当2a时，解集为：}2{；③当0842a，即2a或2a时，方程0222axx有两个根为221aax，222aax，不等式0222axx的解集为22|22aaxaax综上，22a时，不等式的解集是；当2a时，不等式的解集为2；当2a时，不等式的解集为2；当2a或2a时，不等式的解集为：22|22aaxaax.18．【解析】(1)02cos2sin32BB，02cos2)cos1(32BB，则01cos2cos32BB，B0，解得31cosB，322cos1sin2BB，32ADC，3ADB，在ABD中，由正弦定理可知ADBABBADsinsin得968AD.(2)由DCBD2得2CDBDSSACDABD，所以2sin21sin21CADADACBADADAB，得2AB，所以，24AC，在ABC中，由余弦定理得BBCABBCABACcos2222，即084432BCBC，得6BC，所以4BD，.3283224221sin21BBDABSABD19．【解析】(1)连接1AC交AC于E，连接DE，故E为1AC中点，D是AB的中点，所以1//BCDE，又DE平面CDA1，1BC平面CDA1.故//1BC平面CDA1.(2)取BC边中点,O连接OBAO1,，因为1BBBC，ABC为等边三角形，31CBB，所以BCAO，BCOB1又平面ABC平面CCBB11，且平面ABC平面BCCCBB11，AO平面CCBB11，所以1,,OBBCAO两两互相垂直．故以O为原点，建立空间直角坐标系xyzO如图所示：则由题意可知)0,0,1(C，23,0,21D，)3,3,1(1A.设平面CDA1的法向量),,(1zyxn，则00111CAnCDn，即03302323zyzx，令1z，得1,1,331n．显然平面CCBB11的一个法向