江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题

2022-2023学年江苏常州市高级中学高三年级1月月考数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合237Axx∣，2BxxN∣，则AB（）A．0,1B．1C．0,1,2D．1,22．已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．(1)iiB．2(1)iiC．22(1)iiD．234iiii3．已知圆锥SO的底面半径为3，母线长为5.若球1O在圆锥SO内，则球1O的体积的最大值为（）A．92B．9C．323D．124．若函数2()sin(2)(02)fxxx的图象关于原点对称，则（）A．4B．2C．D．325．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，设cxayb（其中x，y∈R），若|c|＝3，则xy的最大值（）A．2B．3C．3D．236．曲线2lnyxx在1x处的切线的倾斜角为，则cos(2)2的值为（）A．45B．45C．35D．35-7．已知点P是抛物线22xy上的一点，在点P处的切线恰好过点10,2，则点P到抛物线焦点的距离为（）A．12B．1C．32D．28．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A．事件B与事件C是对立事件B．事件A与事件B不是相互独立事件C．18PAPBPCD．18PABC二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（）A．改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变B．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数D．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小10．下列式子的运算结果为3的是（）A．2sin35cos25cos35sin25B．2cos35cos5sin35sin5C．1tan151tan15D．2tan61tan611．已知A（4，2），B（0，4），圆22:(4)(1)4Cxy，P为圆C上的动点，下列结论正确的是（）A．||||PBPA的最大值为25B．PAPB的最小值为4C．xy的最小值为522D．PBA最大时，||25PB12．如图，点O是正四面体PABC底面ABC的中心，过点O且平行于平面PAB的直线分别交AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，则（）A．若MN∥平面PAB，则ABRQ∥B．存在点S与直线MN，使0PSPQPRC．存在点S与直线MN，使PC平面SRQD．1113PQPRPSPA三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数fx是定义在R上的增函数，且121fmfm，则m的取值范围是__________.14．已知抛物线的方程为22yax，且过点 1,4，则焦点坐标为______．15．函数32()sin3cos,32fxxxx的值域为_________.16．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的78，第n层的货物的价格为______，若这堆货物总价是7641128n万元，则n的值为______.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．对于数列na，若存在正整数M，同时满足如下两个条件：①对任意nN，都有naM成立；②存在0nN，使得0naM．则称数列na为MB数列．(1)若1nan，112nnb，判断数列na和nb是否为MB数列，并说明理由；（5分）(2)若MB数列na满足1ap，1sin2nnaan，求实数p的取值集合．（5分）18．灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为25，且每局比赛都分出了胜负．(1)求比赛结束时乙获胜的概率；（6分）(2)比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X，求随机变量X的分布列．（6分）19．在①4sincos3aBAb，②222sinsin()sinbBcCbcA，③3sincosbaAAab．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cosB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．（7分）问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1cos3C，________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．如图，空间几何体ADEBCF-中，四边形ABCD是梯形，//ABCD，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD平面,,2,4CDEFADDCABADDEEF，M是线段AE上的动点.（1）试确定点M的位置，使//AC平面MDF，并说明理由；（7分）（2）在（1）的条件下，平面MDF将几何体ADEBCF-分成两部分，求空间几何体MDEF与空间几何体ADMBCF的体积的比值.（7分）21．已知圆221:536Cxy，点5,0C，点M是圆1C上的动点，MC的垂直平分线交直线1MC于点.P（1）求点P的轨迹方程2C；（5分）（2）过点4,0N的直线l交曲线2C于,AB两点，在x轴上是否存在点G，使得直线AG和BG的倾斜角互补，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.（6分）22．设函数()=ln(1)exfxxax，其中aR．(1)若=3a，求()fx的单调区间；（5分）(2)若10ea，（ⅰ）证明：()fx恰有一个极值点；（5分）（ⅱ）设0x为()fx的极值点，若1x为()fx的零点，且10xx，证明：0132xx．（6分）答案及解析：1．A【分析】化简集合,AB，再结合交集运算求解即可【解析】由题意可得2Axx∣，则|220,1ABxxN.故选：A2．C【分析】利用复数代数形式的乘法运算对选项进行逐一化简可得答案．【解析】对于A，(1)1iii不是纯虚数；对于B，22122iii是实数；对于C，22(1)2iii为纯虚数；对于D，234110iiiiii不是纯虚数.故选：C.【注意】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．A【分析】设圆锥SO的轴截面为等腰△SAB，则球1O的体积最大时，球1O的轴截面是△SAB的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积.【解析】设圆锥SO的轴截面为等腰△SAB，则球1O的体积最大时，球1O的轴截面是△SAB的内切圆，所以11()22SABSABSOSASBABr，解得：32r，所以球1O的体积的最大值为92.故选：A【注意】本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力.4．C【分析】根据题意知函数为奇函数，化简可得sin(2)sin(2)xφxφ，据此可求出值.【解析】因为函数2()sin(2)(02)fxxx的图象关于原点对称，即()()fxfx，所以可得sin(2)sin(2)xφxφ，即sin(2)sin(2)xφxφ，2φkπφ，即,kkZ，02jp，jp\=.故选：C5．C【分析】根据||3c得到229xyxy，再利用均值不等式计算得到答案。【解析】cxayb，则2222222229cxaybxaybxyabxyxy229233xyxyxyxyxyxy，当3xy时等号成立。故选：C【注意】本题考查了向量的运算和均值不等式，意在考查学生的综合应用能力。6．D【分析】先利用导数的几何意义求得tan3，然后利用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的关系将cos(2)2化简为2222sincos2tansincos1tan，再代值可得答案【解析】解：依题意，221yxx，所以21tan311，所以2222sincos2tan3cos2sin22sincos1tan5故选：D.【注意】本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题.7．B【解析】设P坐标为00(,)xy，由导数求出线斜率，再由切线过点1(0,)2，可求得0x，0y，然后可求得焦半径．【解析】抛物线方程为212yx，y'x，设切点P坐标为00(,)xy，∴切线斜率为0kx，又切线过点1(0,)2，∴00012yxx，∴22001122xx，01x．012y．即1(1,)2P或1(1,)2P，抛物线标准方程为22xy，1p，∴P点到焦点的距离为11112222p．故选：B．【注意】本题考查直线与抛物线相切问题，考查导数的几何意义，考查抛物线的几何性质．利用导数几何意义求出切点坐标，利用焦半径公式求出焦半径，本题难度一般．8．C【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.【解析】对于A，事件B与事件C是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，对于事件A与事件B，111,,224PAPBPAB,事件A与事件B是相互独立事件,故B错误；对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有4416种，其中，事件A发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有22228种，所以81162PA，因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以2142PB，2142PC，所以31128PAPBPC，故C正确；对于D，事件ABC表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故221444PABC，故D错误.故选：C．9．BCD【分析】根据平均数、中位数、频率分布直方图和方差的性质，逐一分析选项，即可得答案.【解析】对于A：例如数据1，3，5，将数据改成2，3，5，数据的中位数未改变，仍为3，故A错误；对于B：根据频率分布直方图中，中位数的求法，可得B正确；对于C：根据频率直方图可得，左边“拖尾”，且不对称，则平均数变小，中位数变大，所以平均数小于中位数，故C正确；对于D：方差越小，数据越稳定，离散程度越小，故D正确.故选：BCD10．BC【解析】利用两角和与差的正弦，余弦，正切公式化简及特殊角的三角函数求值，即可判断选项.【解析】对于A，2sin35cos25cos35sin252sin35252sin103，不合题意；对于B，32cos35cos5