江苏省扬州中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题

江苏省扬州中学2022-2023学年度1月月考试题高三数学2023.01试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1．已知复数3iz（i为虚数单位），则22zz的共轭复数的模是（）A．1B．3C．5D．72．已知集合ln12,Z3sinAxxByyx，则AB（）A．0,1,2,3B．0,3C．3D．3．设123,,aaaR，则“123,,aaa成等比数列”是“2222212231223aaaaaaaa”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列说法正确的是（）A．直方图中x的值为0.035B．在被抽取的学生中，成绩在区间70,80的学生数为30人C．估计全校学生的平均成绩为83分D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分5．已知π0,2，且tan32πcos4，则sin2（）A．13B．16C．13D．236.在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线224xy右支上的一个动点，若点M到直线20xy的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（）A.1B.2C.2D.227．如图是一个由三根细棒PA、PB、PC组成的支架，三根细棒PA、PB、PC两两所成的角都为60，一个半径为1的小球放在支架上，则球心O到点P的距离是（）A．32B．2C．3D．28．已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R，且52fx是偶函数，记gxfx，1gx也是偶函数，则2022f的值为（）A．－2B．－1C．0D．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．如图，在正方体1111ABCDABCD中，E为1AA的中点，则（）A．11//AD平面BECB．1AB平面BECC．平面11AABB平面BECD．直线1DD与平面BEC所成角的余弦值为5510．已知函数2πsin02fxx的一条对称轴为π3x，则（）A．fx的最小正周期为πB．104fC．fx在π2π,33上单调递增D．π6xfx11．已知数列na中，12a，21212nnaa，则关于数列na的说法正确的是（）A．25aB．数列na为递增数列C．221nannD．数列11na的前n项和小于3412．已知函数sinfxx，0gxkxk，若fx与gx图象的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为1x，2x，…，nx，则下列说法正确的有（）A．若1n，则1kB．若3n，则33321sin2xxxC．若4n，则1423xxxxD．若22023k，则2024n三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知52212xax展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含2x项的系数为_____.14．已知2,1,3,ababa,则a与b的夹角为__________．15．已知12,0,,0FcFc为椭圆2222:1xyCab的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），12PFF△的重心为G，内心为M，且12//GMFF，则椭圆C的离心率为___________．16．对于函数()fx和()gx，设{|()0}xfx，{|()0}xgx，若存在、，使得||1，则称()fx与()gx互为“零点相邻函数”.若函数1()e2xfxx与2()3gxxaxa互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．已知数列na满足，12(1)nnnaa.(1)若11a，数列2na的通项公式；(2)若数列na为等比数列，求1a.18．记锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinsintancoscosACBAC．(1)求B；(2)求2acab的取值范围．19．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：211,,323．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．20．图1是直角梯形ABCD，ABCD，90D，2AB，3DC，3AD，2CEED，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达1C的位置，且16AC，如图2.(1)求点D到平面1BCE的距离；(2)若113DPDCuuuruuur，求二面角PBEA的大小.21．已知点1,2Q是焦点为F的抛物线C：220ypxp上一点．(1)求抛物线C的方程；(2)设点P是该抛物线上一动点，点M，N是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN的内切圆方程为221xy，求PMN面积的最小值．22．已知函数lnfxxaxa，其中Ra．(1)讨论函数fx的单调性；(2)若fx在0,1上的最大值为0，①求a的取值范围；②若2()31fxkxax恒成立，求正整数k的最小值．参考答案：1．C【详解】因为3iiz，所以22212i112iizz，所以22zz的共轭复数为12i，12i5，所以22zz的共轭复数的模是5.2．A【详解】由ln12x，可得201ex，则21e1Axx∣又Z3sin3,2,1,0,1,2,3Byyx，所以0,1,2,3AB.3．A【详解】①若123,,aaa成等比数列，则2213aaa，所以22221223aaaa22113133aaaaaa113133aaaaaa21313aaaa22132aaa2132aaa21223aaaa；②若1230aaa,满足2222212231223aaaaaaaa，但是不满足123,,aaa成等比数列（因为等比数列中不能含有0）“123,,aaa成等比数列”是“2222212231223aaaaaaaa”的充分不必要条件，4．D【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A错误；对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间70,80的学生数为100.015400=60人，故B错误；对于C：估计全校学生的平均成绩为550.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分；故C错误.对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为0.29010950.4分.故D正确.5．D【详解】设π4，π3π,44，则π4，tan32πcos4，即πtan3cos23sin22，sin6sincoscos，sin0，故21cos6，22sin2sin2cos212cos23.6.B【详解】由点M到直线20xy的距离大于m恒成立，可得点M到直线20xy的最近距离大于m.因为双曲线的渐近线为yx，则yx与20xy的距离222d即为最近距离，则2m，即max2m.7．C【详解】如图所示，连接,,ABACBC，作ABC所在外接圆圆心1O，连接1,AOAO，设PAx，由PA、PB、PC两两所成的角都为60可得ABACBCx，因为1O为ABC几何中心，所以132332333AOABABx，易知对1PAO△和POA，1,90PPPOAPAO，所以1PAOPOA△≌△，所以1PAPOAOAO，即133xPOx，解得3PO.故选：C8．C【详解】因为52fx是偶函数，所以(52)(52)fxfx，两边求导得5(52)5(52)fxfx，即(52)(52)fxfx，所以(52(52)gxgx），即()(4)gxgx，令2x可得(2)(2)gg，即(2)0g，因为1gx为偶函数，所以(1)(1)gxgx，即()(2)gxgx，所以(4)(2)gxgx，即()(2)gxgx，(4)(2)()gxgxgx，所以4是函数()gx的一个周期，所以(2022)(2022)(50542)(2)0fggg,9．ACD10．ABD【详解】因为函数21cos(22)11()sin()cos(22)222xfxxx，因为函数2πsin02fxx的一条对称轴为3x，所以π22π,()3kkZ，解得：ππ,()23kkZ，又因为π02，所以π1,6k，则1π1()cos(2)232fxx，对于A，函数()fx的最小正周期πT，故选项A正确；对于B，1111(0)2224f，故选项B正确；对于C，因为π2π33x，所以π5ππ2+33x，因为函数cosyt在5π(π,)3上单调递减，故选项C错误；对于D，因为π11()cos2622fxx，令π11()()cos2622gxxfxxx，当0x时，11()cos222gxxx，则1sin20gxx，所以()gx在[0,)上单调递增，则()(0)0gxg，也即π()6xfx，当0x时，11()cos222gxxx，则1sin20gxx，所以()gx在(,0)上单调递减，则()(0)0gxg，也即π()6xfx，综上可知：6xfx恒成立，故选项D正确，11．BCD【详解】由21212nnaa，得21221nnaa，即1221nnaa，又12a，122a