福建省龙岩市一级校2022-2023学年高三上学期1月期末数学

学科网（北京）股份有限公司龙岩市一级校2022-2023学年第一学期期末高三联考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CABBADDB7．【解析】由图可知，三角形ABC的底边AB是固定的，则点C的运动直接影响着三角形面积的变化。由图可知，三角形的面积大小变化为：小大小大小，再考虑当点C落在线段AB上以及点C与点A或B重合时，都构成不了三角形，所以()Sx大小变化为：先正负，（,,ACB三点共线），再正负，故选择D.8．【解析】法一：由题意得，第一个参加面试的一定是男生，最后一次参加面试的一定是女生，男女生面试的排序应为“男男***女”或“男女男**女”，所以1113111123233332226614CCCACCCCAPA．法二：如图：以下5种情况符合题意，所以所求概率为33122312233323332366()()14AACAAACAAPA．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号9101112答案ACABADBCD12．【解析】由（2）知，S中的元素满足消去率，所以0S.设Sx，由（1）知，5432,,,,xxxxx都是S中的元素，由集合元素的互异性，必存在整数,,15,mnmn满足使得nmxx.由于Sx，所以,0x故有1mnx。因为nm,是整数，且14nm，所以Sxmn,即1S.若Sx且1xy，由（1）知，存在整数(14),kk使得1kx，即11kxx.令1kxy，又因为,1Sxk则Sy.由条件（1），不妨令yx，则有2,xSxS，再令2yx，则有3xS，如此循环，则23456,,,,,,xxxxxx都是数集S的元素，又已知数集S只有4个元素，考虑集合元素的互异性，则元素必需满足一定的周期性，且周期为4，考虑复数i恰满足此性质，故数集234,,,Siiii，即数集,1,,1Sii.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．3210b14．30xy15．18π16．315．【解析】如图，取AC的中点为1O，连接1PO，则1POAC，因为平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，学科网（北京）股份有限公司1PO平面PAC，1POAC，所以1PO平面ABC．在ABC△中，由余弦定理2222cosBCABACABACBAC，得2BC，所以222ABBCAC，所以ABC△为直角三角形．所以球心O在直线1PO上，所以22(22)4RR，解得322R，所以该球的表面积为18π．16．【解析】如图，四边形12PFMF为平行四边形，因为260MFN，所以1260FPF．因为12||||2PFPFa，且122PFPF，所以1||4PFa，2||2PFa，在12PFF△中，由余弦定理22212121212||||||2||||cosFFPFPFPFPFFPF，得3ca，所以离心率为3．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）解：（1）因为211nnnaSS，①所以当2n时，21nnnaSS，②①-②得2211nnnnaaaa，...................................................................................1分即111nnnnnnaaaaaa，因为0na，所以11nnaa，...........................................................................2分所以数列{}na从第二项起，是公差为1的等差数列.由①知2221aSS，因为11a，所以22a，所以当2n时，2(2)1nan=+-´，即nan=.③.............................................4分又因为11a也满足③式，所以nan=（*Nn）............................................5分注：没有验证1n的情况扣1分.（2）由（1）得212(21)2nannnban，................................................................6分nT2323252(21)2nn，④2312232(23)2(21)2nnnTnn，⑤.......................................7分④-⑤得，2122222(21)2nnnTn，.....................................8分所以3112(12)2(21)212nnnTn，.........................................................9分故1(23)26nnTn...........................................................................................10分18．（12分）解：（1）△ABC中，由正弦定理，得sinsinsinabckABC，则sinakA，sinbkB，sinckC，故3sincosaBbAb可化为3sincos1AA，..................................2分整理，得π1sin()62A，.........................................................................................4分学科网（北京）股份有限公司又ππ5π666A，故ππ66A，即π3A................................................6分（2）△ABC中，由余弦定理，得2222cosabcbcA，即222abcbc，（*）.........................................................................................................................................7分又3abc，所以3abc，代入（*），得222(3)bcbcbc，整理，得6639bcbc，.................................................................................9分又因为2bcbc≥，.............................................................................................10分所以430bcbc≥，解得1bc≤或3bc≥（舍去），............................11分故1bc≤，故△ABC的面积133sin244SbcAbc≤...............................12分19．（12分）解法一：（1）由已知条件可得2,2,BDCDCDBD．.............................................1分∵平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，∴CD平面ABD．过点D在平面ABD作DzDB，则DzDC．.............................................2分以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),ABCD(1,1,0)M．∴(0,2,0),(1,0,1)CDAD．设平面ACD的法向量为),,(zyxn，则nADnCD,∴0,0,yxz令1x，得平面ACD的一个法向量为)1,0,1(n，.................................4分∴点M到平面ACD的距离22nMCdMC．..........................................6分（2）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60．设,01BNBC，则(22,2,0)N，..........................................7分∴(12,2,1)AN，..................................................................................8分又∵平面ACD的法向量)1,0,1(n且直线AN与平面ACD所成角为60，∴3sin602ANnANn，..............................................................................10分可得01282，∴2141或（舍去）．.............................................................................11分综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60，此时41BCBN．12分解法二：（1）由已知条件可得ABAD，2ABAD，∴121ADABSABD．.................................................................................1分∴2,2,BDCD又22BC，∴CDBD．∵平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，学科网（北京）股份有限公司∴CD平面ABD．即CD为三棱锥CABD的高，......................................................................2分又2CD，∴3231ABDABDCSCDV，..................................................3分又∵点M为线段BC中点，∴点M到平面ACD的距离等于点B到平面ACD的距离的21，∴312121ABDCADCBADCMVVV，………………4分∵ADCD,2AD,2CD，∴221DCADSACD，..............5分设点M到平面ACD的距离为d，则1133ADCdS，即11233d解得d=22，∴设点M到平面ACD的距离等于22...............................6分（2）同解法一．解法三：（1）∵点M为线段BC中点，∴点M到平面ACD的距离等于点B到平面ACD的距离的21，.............1分由已知条件可得2,2,BDCDCDBD．....