师大附中2023届月考卷（三）数学-答案

数学参考答案·第1页（共11页）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案ADBDCBCB【解析】1．复数13i(13i)(2i)17i17i2i(2i)(2i)555z的虚部为75，故选A．2．因为ABA，所以BA．则由{|04}Bxx，可得30264mm≤，≥13m≤≤，故选D．3．因为()fx为幂函数，所以设()fxx，则231(8)2824f，所以23，23，则2331(4)416f，故选B．4．因为(158160)0.2PX≤，所以(162)0.20.50.7PX≤，则随机抽取该地区1000名成年女性，其中身高不超过162cm的人数服从(10000.7)YB，，所以()700EYnp，故选D．5．因为1101011056()105()5()02aaSaaaa，所以560aa，又37520aaa，所以50a，所以60a，则max5()nSS，故选C．6．将M方程与抛物线方程联立，得224160(*)yyr，设1122()()AxyBxy，，，，则由M与抛物线有四个不同的交点可得(*)有两个不等的正根，得2212212164(16)448040160rryyyyr，，，即2(1216)r，，∴由抛物线定义可得2121212||||(1)(1)()121(59)FAFByyyyyyr，，故选B．7．25(2)xx表示5个2(2)xx相乘，含4x的项可以是在5个2(2)xx中选3个2，2个2x相乘得到，也可以是在5个2(2)xx中选2个2，2个x，1个2x相乘得到，也数学参考答案·第2页（共11页）可以是在5个2(2)xx中选1个2，4个x相乘得到，所以含4x的项为3322222221444445535C2()C2C()C2801201030xxxxxxxx，故选C．8．如图1，取BD的中点M，连接AMCM，．由23ABADBD，可得ABD△为正三角形，且32332AMCM，所以2232(26)1cos2333AMC，则21sin13AMC223．以M为原点，MC为x轴，过点M且与平面BCD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系如图2，则(30)C，，cos||1AxAMCMA，sin||AyAMCMA22，所以(122)A，．设O为三棱锥ABCD的外接球球心，则O在平面BCD的投影必为BCD△的外心，则设(1)Oh，．由222||||ROAOC可得22222(22)2hh，解得2h，所以22||6ROC．由张衡的结论，2π5168，所以π10，则三棱锥ABCD的外接球表面积为24π2410R，故选B．二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BDBCABDABC【解析】9．选择自由行的游客人数为381957，其小于40岁的概率是382573，故A错误；选择自由行中小于40岁和不小于40岁的人数比为2:1，则按年龄分层抽样抽取的6人中，有4人小于40岁，有2人不小于40岁，设事件A为2人均小于40岁，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为2426C631()11C155PA，故B正确；因为24.0876.635，所以可推断旅行方式与年龄没有关联，但对零假设犯错误的概率是不可知的，故C错误；因为24.0873.841，所以推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05，故D正确，故选BD．图1图2数学参考答案·第3页（共11页）10．2221()(1)1Oxmym：，2222(1)(2)4Oxymm：，则1(1)Om，，211rm，2(12)Om，，22||rm，则0m，A错误（若(11)，在1O内，则221(1)220m，即0m）；当1m时，1(11)O，，12r，2(12)O，，22r，所以12||3OO(2222)，，所以两圆相交，共两条公切线，B正确；12OO，得(22)(24)10mxmy，即(24)(221)0mxyxy，令2402210xyxy，，解得1316xy，，所以定点为1136，，C正确；公共弦所在直线的斜率为2224mm，令221242mm，无解，所以D错误，故选BC．11．因为()fx经过点5π08，，所以5π5π2sin088f，又5π8在()fx的单调递减区间内，所以5ππ2π()8kkZ①；又因为()fx经过点5π14，，所以5π5π2sin144f，5π2sin42，又5π4x是()1fx在5π8x时最小的解，所以5π9π2π()44kkZ②．联立①、②，可得5π5π84，即2，代入①，可得π2π()4kkZ，又π||2，所以π4，则π()2sin24fxx．()fx的最小正周期为2ππ2，A正确．()fx向左平移3π8个单位后得到的新函数是3πππ()2sin22sin22cos2842fxxxx，为偶函数，B正确．设()1fx在(0)m，上的6个根从小到大依次为126xxx，，，．令ππ242x，则3π8x，根据()fx的对称性，可得123π28xx，则由()fx的周期性可得342xx3π8T11π8，563π19π2288xxT，所以613π11π19π33π28884iix，C错误．作与240lxy：平行的直线，使其与5π()04fxx，有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与5π()04fxx，相切时，直线与l存在最小距离，也是点M到直线数学参考答案·第4页（共11页）240xy的最小距离，令π()22cos224fxx，则ππ22π44xk()kZ，解得πxk()kZ或ππ()4xkkZ，又5π04x，，所以π5π044x，，（舍去），又(0)1f，令1(01)M，，π14f，2π14M，，则由π14|14|255可得1M到直线l的距离大于2M到直线l的距离，所以M到直线240xy的距离最小时，M的横坐标为π4，D正确，故选ABD．12．由为黄金分割双曲线可得accac，即22aacc(*)，对(*)两边同除以2a可得210ee，则512e，A正确；对(*)继续变形得222accab，222222222222||||2()3ABBFabcbaccaca∴，22||()AFac222223aaccca，ABBF∴，由射影定理（即三角形相似）可得B正确；设11()Pxy，，22()Qxy，，00()Mxy，，将PQ，坐标代入双曲线方程，作差后整理可得2202122105112PQOMyyybkkexxxa，故C正确；设直线OPykx：，代入双曲线方程222222bxayab，可得222222abxbak，则2222222abkybak，222222222(1)||abkOPxybak∴，将k换成1k即得2||OQ222222(1)abkbka，则22222222222211()(1)||||(1)bakbaOPOQabkab与a，b的值有关，故D错误，故选ABC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案(20)，1yx1204(21)【解析】13．不妨设a，b起点都在原点，设aOA，则A为(29)，，点OA，分别在b所在直线x轴上的投影为点O和点(20)A，，所以a在b上的投影向量为(20)OA，．14．因为()ln1fxx，所以(1)1f，又(1)0f，所以()lnfxxx在1x处的切线方程为01yx，即1yx．数学参考答案·第5页（共11页）15．设该四位数为1234aaaa，则1*aN，(234)iaiN，，，且1234aaaa8．令11aa，1(234)iiaai，，，则*(1234)iaiΝ，，，，且123411aaaa．所以该问题相当于把11个完全相同的小球放入4个不用的盒子，且每个盒子至少放一个小球，采用隔板法：在11个小球的10个空隙中选择3个插入隔板，所以共有310C120种放法．16．设2220xyr，则221xyrr，则点xyrr，在单位圆上，根据三角函数的定义，可设cosxr，sinyr，则cossinxryr，，则由222xyxyxyyx可得22222cossin12sincos2sincos(cossin)sincossincosrrr，则222sin2cos2sin2rr，所以2(cos2sin2)r2sin2，则222222111sin2(cos2sin2)sin2cos2sin2sin4sin2222r44πsin4cos412sin414，又π2sin41(021]4，，所以当且仅当πsin414，即ππ162k时，2min44(21)21r．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）∵1(24681012)76x，624.84y，24.844.146y，61217.28iiixy，621364iix，∴1221666217.2824.84743.4ˆ0.62364649706iiiiixyxybxx，………………………………（4分）∴ˆˆ4.140.6270.2aybx，∴y关于x的线性回归方程为ˆ0.620.2yx．………………………………………（6分）（2）令ˆ0.620.22.90yx，解得5x，∴则该样本中所含的还原糖大约相当于5mL的标准葡萄糖溶液.……………………………………………………………………………………（10分）数学参考答案·第6页（共11页）18．（本小题满分12分）解：（1）∵ABC，，成等差数列，∴2ACB，……………………………………………………………………………（1分）又πACB，∴π3B，2π3AC，又π2AC，∴1π2πππ7π2234312A，12πππππ2323412C，………………………………………………………………………………………（3分）∴231ππ7πsinsin2223132314312:sin:sinπππ231231sinsin1234222acAC