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德阳市高中2020级第一次诊断考试数学试卷(理工农医类)说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.2.本试卷满分150分,120分钟完卷.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P={x∈N|x²≤9},Q={1,3},则P∩Q=A.QB.{-3,-2,-1,0,1,3}C.PD.{-3,-2,-1,2}2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高D.调查影院中观众观后感时，从15排(每排入数相同)每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法3.复数5𝑖−2的共轭复数为A.2+iB.-2+iC.-2-iD.2-i4.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且𝑆₅=5,𝑆₁₀=30,则𝑆₁₅=A.90B.125C.155D.1805.已知x、y满足约束条件{𝑥+2𝑦≤12𝑥+𝑦+1≥0𝑥−𝑦≤0则𝑦𝑥+2的最小值为A.1𝐵.17𝐶.−13𝐷.−156.已知𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏,点M关于A的对称点为S，点S关于B的对称点为N，那么𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=A.2a-2bB.2a+2bC.-2a-2bD.-2a+2b数学一诊(理工农医类)第六页(共4页)7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料(如图1)截去8个一样的四面体得到的(如图2)，则下列对石凳的两条边AB与CD所在直线的描述中正确的是①直线AB.与CD是异面直线②直线AB与CD是相交直线③直线AB与CD.成60°角④直线AB与CD垂直A.①③B.①④C.②③D.②④8.已知某曲线方程为𝑥2𝑚+3−𝑦22𝑚−1=1,则下列描述中不正确的是A.若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则𝑚∈(12,+∞)B.若该曲线为圆，则m=4C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则m∈(-∞，-3)9.函数f(x)=[ln(π-x)+lnx]cosx的大致图象为A.2.5米B.2.6米(-2.8米D.2.9米11.已知函数𝑓(𝑥)=1+𝑥−𝑥22+𝑥33−𝑥44+⋯+𝑥2𝑛2023,𝑥∈𝑅,则f(x)在R上的零点个数为A.0B.1C.2D.202312.已知a、b、c是正实数,且𝑒²ᵃ−2𝑒ᵃ⁺ᵇ+𝑒ᵇ⁺ᶜ=0,则a、b、c的大小关系不可能为A.a=b=cB.abcC.bcaD.bac第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答，二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.已知二项式(√𝑥+2√𝑥)𝑛(𝑛∈𝑁∗)的展开式中最后三项的二项式系数和为79，则n=.数学一诊(理工农医类)第2页(共4页)10.·如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1.米的悬柱上放置：一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面(视为相切)形成的曲线称为悬链线(又称最速降线).建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是𝑦=12(𝑒𝑥+𝑒−𝑥+𝑡),那么两悬柱间的距离大致为(可能会用到的数据𝑒1.25≈3.49,𝑒1.35≈3.86)已知等差数列{a，}的首项为1，公差d≠0，前n项和为𝑆ₙ,且𝑆𝑛𝑆2𝑛为常数.(1)求数列{aₙ}的通项公式;(2)若𝑏ₙ=2ⁿ⁻¹⋅𝑎ₙ,求数列{𝑏ₙ}的前n项和Tₙ.18.(本题满分12分)在△ABC中,边a、b、c对应角分别为A、B、C,且𝑏𝑎=cos𝐵+1√3sin𝐴.(1)求角B的大小;(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高.条件①:cos𝐴=√33,𝑏=1;条件②:𝑏=2,𝑐=2√3;条件③:a=3,c=2.注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分.19.(本题满分12分)买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：月份／月12345678月销售量／百个45678101113月利润／千元4.14.64.95.76.78.08.49.6(1)求出月利润y(千元).关于月销售量x(百个)的回归方程(精确到0.01)；数学一诊(理工农医类)第3页共高页签字号14.已知a,b是单位向量,且a·b=0,若c=λa+(1-λ)b,那么当c⊥(a-b)时,λ=.15.已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+)(𝜔0,||𝜋2)的部分图象如图所示,则f(x)=。16.如图,矩形ABCD中,AC是对角线,设∠BAC=α,已知正方形S₁正方形S的周长.和正方形S₂分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC,则正方形S1的周长正方形S2的周长的取值范围为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)(2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用ξ表示3个中装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒个数，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：回归方程𝑦̂=â+𝑏̂𝑥⋅中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：𝑏̂=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖−𝑥̅)2=∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥̅𝑦̅∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖2−𝑛𝑥̅2,â=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅.参考数据：∑𝑖=18𝑥𝑖2=580,∑𝑖=18𝑥𝑖𝑦𝑖=459.5.20.(本题满分12分)已知函数𝑓(𝑥)=13𝑥3+12(𝑎−1)𝑥2−𝑎𝑥(𝑎0).(1)求函数f(x)的极值;(2)当a1时,记f(x)在区间[-1,2]的最大值为M,最小值为m.已知M+m∈(13,23).设f(x)的三个零点为x₁,x₂,x₃,求f(x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁)的取值范围.21.(本题满分12分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑒ˣ,𝑔(𝑥)=𝑡𝑠𝑖𝑛𝑥+1,设b(x)=f(x)-g(x).(1)若h(x)在(−𝜋2,𝜋2)上单调递增，求实数t的取值范围；(2)求证:∃t∈(0,+∞);对∀x∈R,∃a∈[0,+∞),使得xh(x)=a总成立.请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，曲线C₁的方程为(𝑥−1)2+(𝑦−√3)2=1,曲线C₂的参数方程为{𝑥=3𝑡2𝑦=√3𝑡(t为参数)，直线l过原点O且与曲线C₁交于A、B两点，点P在曲线C₂上且·OP⊥AB.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线C₁的极坐标方程并证明|OA|·|OB|为常数；(2)若直线l平分曲线C₁,求△PAB的面积.23.(本题满分10分)已知函数f(x)=|x|.(1)画出y=f(x-1)-f(x+5)的图象,并根据图象写出不等式f(x--1)-f(x+5)≤-4的解集;(2)若f(x-1)-f(x+5)+kf(x+2)≥0恒成立，求实数k的取值范围.数学一诊(理工农医类)第4页(共4页)