高三年级数学试题参考答案及评分标准

高三年级数学试题参考答案第页（共5页）2022—2023学年度第一学期芜湖市中学教学质量统测高三年级数学试题参考答案一、单选题1C2A3B4C5D6D7B8C二、多选题9BC10ACD11ACD12BCD三、填空题13.114.[2,+∞)15.216.[29,14]四、解答题17.（1）由题可知2sinC-sinB=2sinAcosB,且sinC=sin(A+B)，∴2cosAsinB-sinB=0又△ABC中，sinB≠0，∴cosA=12,解得A=π3…………………………………………（5分）（2）由题可知AD=12()AB+AC，∴AD2=14()AB2+AC2+2AB·AC即||AD2=14()||AB2+||AC2+2||AB||ACcosA，又AD=2∴||AB2+||AC2+||AB||AC=16≥3||AB||AC,当且仅当||AB=||AC时等号成立∴||AB||AC≤163∴S=12||AB||ACsinA≤433…………………………………………………………（10分）18.（1）由已知得2()a1+a2=3a2，即a2=2，n≥2时，由2Sn=()n+1an，2Sn-1=nan-1，两式相减得()n-1an=nan-1，则ann=an-1n-1=⋅⋅⋅=a22=22=1，又a11=1，于是{}ann为常数列.得an=n…………（6分）注：也可以利用等比型递推关系anan-1=nn-1(n≥2)，用累乘法求通项公式，请酌情赋分.1高三年级数学试题参考答案第页（共5页）（2）∵bn=sin1cosncos()n-1=sin[]n-()n-1cosncos()n-1=sinn⋅cos()n-1-cosn⋅sin()n-1cosncos()n-1=tann-tan()n-1=-tan()n-1+tann，∴Tn=()-tan0+tan1+()-tan1+tan2+()-tan2+tan3+⋯+[]-tan()n-1+tann=tann……………………………………………………………………………………（12分）19.（1）零假设为H0:疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异根据列联表中数据，经过计算得到χ2=136×(15×63-52×6)267×69×21×115≈4.8827.879=x0.005根据小概率值α=0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异………………………………………………………（4分）（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为X1，则X1~B(3,1415)，所以E(X1)=3×1415=145，设A组的积分为X2，则X2=2X1，所以E(X2)=2E(X1)=285=5.6，…………………（7分）设B组中服用乙种中药康复的人数为Y1，则Y1的可能取值为：0，1，2，3，P(Y1=0)=120×110×110=12000，P(Y1=1)=1920×110×110+120×C12×110×910=372000，P(Y1=2)=C12×1920×910×110+120×910×910=4232000，P(Y1=3)=1920×910×910=15392000，故Y1的分布列为：Y1P012000137200024232000315392000所以E(Y1)=0×12000+1×372000+2×4232000+3×15392000=114，设B组的积分为Y2，则Y2=2Y1，所以E(Y2)=E(2Y1)=2E(Y1)=112=5.5，………（11分）因为5.65.5，所以甲种联合治疗方案更好…………………………………………（12分）2高三年级数学试题参考答案第页（共5页）20.（1）证明：因为AD∥CF，CF⊂面BCFE，AD⊄面BCFE，所以AD∥面BCFE.又因为AD⊂面ABED，面ABED⋂面BCFE=BE，所以AD∥BE………………………………………………………………………………（4分）（2）条件①②，结论③由条件易知四边形ACFD是平行四边形，故CA∥FD，因为FD⊥BE，所以CA⊥BE，又CA⊥DE，BE⋂DE=E，所以CA⊥面ABED，而CA⊂面ACFD，故平面ABED⊥平面ACFD.条件①③，结论②证明：由条件易知四边形ACFD是平行四边形，故CA∥FD.由FD⊥BE，AD∥BE可得FD⊥AD.因为面ABED⊥面ACFD，面ABED⋂面ACFD=AD，FD⊂面ACFD所以FD⊥面ABED.而ED⊂面ABED，CA∥FD，故CA⊥DE…………………………………………………（8分）下面求平面EAC和平面PBD夹角的余弦值：△CFE中，由余弦定理可得CE2=CF2+EF2-2CF⋅EF⋅cosπ3=12，故CE=23.又由CA=22，CA⊥AE，得AE=2.由EF=4，FD=22，FD⊥DE，得DE=22.因为AD2+AE2=DE2，所以DA⊥AE.以A为原点，AD，AE，AC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.A(0,0,0)，B(-4,2,0)，C(0,0,22).易知m=(1,0,0)是平面ACE的一个法向量.设n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量第20题图3高三年级数学试题参考答案第页（共5页）由{n⋅AB=0n⋅AC=0，得{-4x+2y=022z=0，取x=1，得y=2，故n=(1,2,0)||cosm,n=||m⋅n||m⋅||n=15=55故平面EAC和平面PBD夹角的余弦值是55………………………………………（12分）21.解：（1）当直线l的倾斜角为60°时，设直线l的方程为y=3(x-p2)，联立方程ìíîïïy2=2pxy=3(x-p2)得：3x2-5px+34p2=0，∴x1+x2=5p3，|AB|=x1+x2+p=8p3=163，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x…………………………………………………（4分）（2）设直线l的方程为x-1=my，A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程{y2=4xx=my+1得：y2-4my-4=0，∴y1+y2=4m,y1y2=-4，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=y1y216=1，则以AB为直径的圆的方程为：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，即：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0，代入得：x2-(4m2+2)x+y2-4my-3=0，过焦点F且垂直于l的直线为：y=-m(x-1)，联立方程{x2-(4m2+2)x+y2-4my-3=0y=-m(x-1)得：(m2+1)x2-2(m2+1)x-3(m2+1)=0即：x2-2x-3=0，解得：x=-1或3，所以过焦点F且垂直于l的直线与以AB为直径的圆的交点分别在定直线x=-1和x=3上.……………………………………………………………………………………………（12分）22.（1）当a=1时，令φ(x)=f(x)-g(x)=ex-x24-1-ln()x+1,φ′(x)=ex-x2-1x+1,φ′′(x)=ex-12+1(x+1)2，4高三年级数学试题参考答案第页（共5页）当x≥0时，ex≥1，当-1x0时，1(x+1)21，∴φ′′(x)0得φ′(x)在()-1,+∞内单调递增，由φ′(0)=0，得当-1x0时，φ′(x)0，φ(x)在()-1,0内单调递减，当x0时，φ′(x)0，φ(x)在()0,+∞内单调递增，∴φ(x)≥φ(0)=0，即f(x)≥g(x)……………………………………………………（5分）（2）h(x)=f(x)-g(x)=ex-x24-1-aln()x+1，当a≤1时，由x0，得ln()x+10，∴ln()x+1≥aln()x+1，由（1）可得h(x)≥φ(x)φ(0)=0；当a1时h′(x)=ex-x2-ax+1，h′′(x)=ex-12+a(x+1)2，由x0得h′′(x)0，∴h′(x)在()0,+∞内单调递增由h′(0)=1-a0，h′(a)=ea-a2-aa+1a+1-a2-aa+1=a2+1a+10∴∃x0∈(0,a)，使得h′(x0)=0，则当0xx0时，h′(x)0，h(x)在()0,x0内单调递减，当x0x时，h′(x)0，h(x)在()x0,+∞内单调递增，由h(0)=0得h(x0)0，h(2a)=e2a-a2-1-aln()2a+14a2-a2-1-2a2=a2-10，∴∃x0∈(0,2a)，使得h(x0)=0，综上，当a≤1时h(x)在()0,+∞内无零点；当a1时h(x)在()0,+∞内有一个零点；……………………………………………（12分）5