2023届河南省十所名校高中毕业班尖子生上学期第一次考试文数

学科网（北京）股份有限公司“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合2{23,},18400AxxnnBxxxN∣∣,则AB中的元素个数为A.8B.9C.10D.112.已知复数33i2iz,则||zA.1B.35C.355D.33.已知非零向量,ab满足||||ab,且(2)abb,则,abA.6B.3C.23D.564.在区间(2,2)内任取一实数x，则12log3x成立的概率为A.132B.116C.18D.145.我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔(dăo),周四丈八尺,高一丈一尺”,意思是有一个圆柱,底面周长为4丈8尺,高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为(注:1丈=10尺,取3)A.1088平方尺B.912平方尺C.720平方尺D.656平方尺6.已知不等式组452xyaxyxay，表示的平面区域不包含点(3,1)则实数a的取值范围是A.(,1)B.,2C.2,D.(1,)7.设数列na满足11,1nnnaaa且112a，则2022aA.2B.13C.12D.38.已知函数()2sin3cosfxxx在x处取得最大值,则cosA.31313B.21313C.21313D.313139.已知定义域为R的偶函数()fx满足()(4)0fxfx,且当[2,2)x时,2()4fxx,则(2021)fA.3B.1C.1D.3学科网（北京）股份有限公司10.已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(,4)m,其中0m,若7cos225,则tan2mA.2B.12C.43D.3411.设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点A、B在抛物线上，若AFx轴，且2BFAF，则AFBA.566或B.233或C.344或D.212.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为2,直线l与C交于,PQ两点,D为线段PQ的中点,O为坐标原点.则l与OD的斜率的乘积为A.2B.3C.4D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13.小明从雪糕店购买了10种不同的雪糕，这些雪糕的价格（单位：元）如茎叶图所示，则小明购买的雪糕价格的中位数为_____.01,2,3,3,4,6,810,2,514.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()fx_____.①1212fxxfxfx;②当(0,)x时,()fx单调递减;③()fx为偶函数.15.已知等差数列na的前n项和为3411,1,11nSaaS,则nnS的最大值为_____.16.已知圆锥AO和BO的底面重合(O为底面圆圆心),点A与B不重合,且,AB和底面圆周都在同一个半径为2的球面上,设圆锥AO的体积为1V,圆锥BO的体积为2V,若12VV的最大值为V,则当124VVV时,12VV_____.(用数值作答)三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在ABC中，角,,ABC所对的边为,,abc，已知2,4,2sin3sin2bcAC.(I)求a(II)设A的平分线与BC交于点D，求AD的长.18.(12分)学科网（北京）股份有限公司某工厂共有甲、乙两个车间,为了比较两个车间的生产水平,分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件,它们的质量指标值m统计如下:质量指标值m0,2020,4040,6060,8080,100甲车间（件）152025319乙车间（件）510153931(I)估计该工厂生产这种零件的质量指标值m的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(II)根据所给数据,完成下面的22列联表(表中数据单位:件),并判断是否有99%的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.60m60m甲车间乙车间附:22()()()()()nadbcKabcdacbd,其中nabcd.2PKk0.050.010.001k3.8416.63510.82819.(12分)如图,在直三棱柱111ABCABC中,190,24,ACBAAACBCM为棱1AA上靠近1A的三等分点,N为棱AC的中点,点P在棱BC上,且直线//PN平面1BMC.(I)求PC的长;(II)求点A到平面MBP的距离.20.(12分)已知函数21()ln2fxaxx.(I)若1a，求()fx的极值.(II)若方程()1fx在区间1,2上有解，求实数a的取值范围.21.(12分)过椭圆22:143xyC上任意一点P作直线:lykxp(I)证明:2234pk;(II)若0,pO为坐标原点,线段OP的中点为M,过M作l的平行线,ll与C交于,AB两点,求ABP面积的最大值.学科网（北京）股份有限公司(二)选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为2(cossin),(,0),(cossin)xmmym为参数以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2sin504.(I)写出l的直角坐标方程;(II)若l与C只有一个公共点，求m的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知,,abc均为正实数,且1abc.(I)求124abc的最小值;(II)证明:222bcacabbcacab.学科网（北京）股份有限公司文科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案BCCABBDADDAB二、填空题13.514.2logx（不唯一）15.5416.233三、解答题：17.解析(I)由2sin3sin2AC得sin3sincosACC,再由正弦定理和余弦定理得22232abcacab整理可得22231823cbcabc,所以32a.(II)由余弦定理可得2222cos24abrCab,因为AD是角A的平分线,2ABAC,所以2BDCD,所以2CD.在ACD中,2222cos4ADACCDACCDC,所以2AD.18.解析(I)由所给数据,各组的频率分别为0.1,0.15,0.2,0.35,0.2所以该工厂生产这种零件的质量指标值m的平均数的估计值为100.1300.15500.2700.35900.258(Ⅱ)22列联表如下:60m60m甲车间6040乙车间3070所以22200(60704030)18.18210010090110K因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.19.解析(I)在1CC上取一点Q,使得CPCQ,连接,PQNQ.由已知得1CCCB,所以1//PQBC.学科网（北京）股份有限公司因为PQ平面1BMC,所以//PQ平面1BMC.又因为//PN平面1,BMCPNPQP所以平面//PQN平面1BMC.根据面面平行的性质可知1//MCQN.在矩形11ACCA中,可得11CQNAMC∽,所以11123AMCQCNAC,所以2233PQCQCN.(II)连接MC,作AHMC垂足为H.由条件知BC平面11ACCA,所以平面MBC平面11ACCA,故求距离转化为求线段AH的长.在RtACM中,22103MCACAM,所以82831053ACAMAHMC,故点A到平面MBP的距离为85.20.解析2'11(),0axfxaxxxx(I)当1a时，令'()0fx得1x当01x时，'()0fx，当1x时'()0fx所以()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增所以()fx的极小值为1(1)2f，无极大值(II)①若1a，当1,2x时'()0fx恒成立，所以()fx在1,2上单调递增要使方程()1fx在1,2上有解,则(1)1,(2)1,ff即n2112l2aa得1ln222a,因为1ln212,所以12a.②若14a，当1,2x时'()0fx恒成立，所以()fx在1,2上单调递减学科网（北京）股份有限公司此吋1()(1)28afxf不符合条件.③若114a,当11xa时,()0fx,当12xa时()0fx,所以()fx在11a，上单调递减，在12a，上单调递增此时111(1),(1)222afffa,要使方程()1fx在[1,2]上有解,则需(2)2ln21fa得1ln22a,所以1ln212a.综上可知，a的取值范围为1ln2,2221.解析解析(I)联立221,43,xyykxp消去y整理得2223484120kxkpxp,因为点P在C上,所以2222644412340,kppk化简得2234pk.(II)设:lykxm,点00,Pxy,则00,22xyM.由已知得00ykxp,所以00222yxpk,即点00,22xyM满足方程2pykx,所以2pm.由221,43,xyykxm得2223484120kxkmxm,设1122,,,AxyBxy,则21212228412,3434kmmxxxxkk.所以222121212243434.34kmxxxxxxk∣所以222221222223431||2312343434ABPABOkmmmmSSmxxkkk学科网（北京）股份有限公司令2234mtk,因为2223444pkm,所以10,4t.所以221132323442ABPStt所以ABP面积的最大值为32.22.解析(I)由l的极坐标方程可得sincos50,故其直角坐标方程为50xy.(II)由C的参数方程可得2222xymm,即C的普通方程为222480xym.联立方程22250480,xyxym得2254010080xxm,因为l与C只有一个公共点,所以222404510081604000mm,解得102m.23.解析(I)由基本不等式可知331241243386abcabc,当且仅当124abc,即1,1,22abc时等号成立,所以124abc的最小值为6.(II)因为1abc,所以111bcacababc.11122422ababababab.同理可得114114,bcbcacac所以4111244abcbcacab，当且仅当abc时等号成立所以111222abcbcacab,即222.bcacabbcacab