天津理工大学大学物理机械波

1机械波天津理工大学理学院物理系康志泰印2一机械波产生的条件纵波与横波在弹性体内部，任一质点离开平衡位置时将产生使它回到平衡位置的力与一弹簧振子类似质点就会在平衡位置附近振动起来与此同时这质点将给相邻部分以作用力，因而使相邻部分的质点也离开平衡位置振动起来。依靠弹性力的作用振动从一处逐渐传播出去这种机械振动的传播过程就形成了机械波这样的弹性体我们称其为弹性媒质3例如电话听筒内膜片在空气中的振动机械波产生的条件：首先要有作机械振动的物体作为波源其次要有能够传播这种机械振动的弹性媒质电话听筒内膜片就是波源，而空气就是传播声波的弹性媒质。声波、超声波、水面波以及地震波等都是机械波。4波动只是振动状态的传播。振动传播时，每个质点都在一定的平衡位置附近振动，并没有沿着传播方向的流动，而且质点的振动方向和波的传播方向也不一定相同。振动方向和传播方向相同的波称为纵波，在空气中或液体中传播的声或超声就是纵波；特点：质点的振动方向与波传播方向一致5如果振动方向和传播方向垂直，这种波就是横波。用手抖动绳子一端时，绳子上产生的波就是横波。特点：波传播方向上各点的振动方向与波传播方向垂直6振动在一周期中传播的距离为波长，通常用表示。因为相隔一周期后振动状态复原，所以相隔一波长两点之间的振动状态是相同的，即振动位相相同。因此波长也就是两个相邻近的振动位相相同的点之间的距离。二波长、频率、波速之间的关系纵波波长两相邻密集或相邻稀疏中心间的距离横波波长两相邻波峰或波谷间的距离沿波的传播方向每隔一个波长的距离就出现振动位相相同的点，即波长描述了波在空间上的周期性。7单位时间内振动所传播的距离Tu以一周期内振动的次数，即以频率T1代替T，则有u此为波长、频率和波速u之间的最基本的关系式。知道其中任意两个量就可以求出另外一个量。波长表示了波在空间上的周期性，而频率表示了波在时间上的周期性。波在空间上及时间上的周期性就以上面的关系联系了起来。请记住波速实际上就是一定的振动状态即振动位相的传播速度（相速度）。由于波长是波一周期内一定位相传播的距离，所以波速波速8最简单、最基本的波。由于一切复杂的振动都可以看成是由若干个简谐振动合成起来的，因此一切复杂的波也可看成是由简谐波合成起来的。用数学的形式去描述简谐波，写出以速度u沿x方向传播的简谐波的表达式。如图，用0x表示波传播的方向，纵坐标y表示直线0x上各点的位移。若能知道每一时刻直线上每一点的位移y，就掌握了波的全部过程，也就达到了描述波的目的。因此可求任一时刻t距离0点为x的任一点P的位移。四简谐波简谐振动的传播所构成的波ux9设在x=0处任一点0的振动方程为tAycos并设在传播过程中各点振动的振幅不变。当振动传到P点时，P点将重复0点的振动，振幅相同、频率相同。ux10ux因此任一点P在任一时刻t的位移为)(cosuxtAy简谐波的表达式一定的位相由0点传到P点所需的时间ux所以在同一时刻t，P点的位相比0点落后在t时刻P点的位相应等于0点在时刻t－x/u的位相t0点的位相11根据T22及Tu上式还可以写成)(2cosxtAy)(2cosxTtAy)2cos(xtAy)(cosuxtAy请记住12波线上各点的简谐运动图13ux)(cosuxtAy如固定在某一点看，即当x一定时，由右式可知该点在作圆频率为的简谐振动，xux2因此离0点不同距离的各点具有不同的振动位相。和0点相距分别为x1和x2的两点位相差为)(2)()()(121221xxxxuuxtuxt振动的初位相为14)(212xxux如果.2.112kkxx则k2这时上述结果说明相距为波长整数倍的两点振动具有相同的位相。在任一时刻t，两点的位移y和速度u都是相同的，我们就说这两点的振动位相相同。15ux如果.2.1.02)12(12kkxx则)12(2)12(2kk由此可见，相距为半波长奇数倍的两点振动时具有相反的位相。在任一时刻t，两点的位移y和速度u都具有相同的数值，但符号却相反。我们说这两点的振动位相相反。)(212xx16对于给定的时间t来说，位移y是x的函数，即各点对平衡位置的位移是不相同的。yxtt+tvt0)(cosuxtAy在下一时刻t+t，各点位移发生变化，y和x的关系由于中蓝线所示。图中红线表示位移y随x而变的关系可看到波形向前传播，传播的速度等于波的相速度。17在导出简谐波的表达式时，我们假定波沿x轴的正向传播。如果波是沿x轴的负向传播，则图中P点的振动比0点早开始一段时间，即当0点振动t秒时，P点已振动（t+x/u）秒。所以P点的振动方程为)(cosuxtAy)(2cosxtAy)(2cosxTtAy)2cos(xtAy在导出简谐波的表达式时，我们还假定振幅A在传播过程中不变，以后我们会看到，这只有在平面波的情形下才是正确的。ux18ux波动方程])(cos[uxtAyux])(cos[uxtAy波沿x轴负向传播波长、频率和波速u之间的关系式u19)(212xx如果.2.112kkxxk2两点振动位相相同.2.1.02)12(12kkxx)12(k振动位相相反上述结果说明相距为波长整数倍的两点振动具有相同的位相，相距为半波长奇数倍的两点振动时具有相反的位相。20)(cosuxtAyux波动方程])[(cosuxtAy021----振动在一周期中传播的距离为波长因为相隔一周期后振动状态复原，所以相隔一波长两点之间的振动状态是相同的，即振动位相相同。因此波长也就是两个相邻近的振动位相相同的点之间的距离。纵波波长两相邻密集或相邻稀疏中心间的距离横波波长两相邻波峰或波谷间的距离单位时间内振动所传播的距离波速Tu22一选择题：[]B1.已知一平面简谐波的波动表达式为)()23cos(6SIxty则（A）其波速为3m/s（B）其波速为1/3m/s（C）其频率为Hz（D）其频率为1.5Hz。)cos(6])(cos[uxtuxtAy3u2Hz5.013133msu)23cos(6xty23二.填空题1.已知一简谐波的波动方程为y=5cos(t+4x+/2)(SI)，可知该简谐波的传播方向为________，其振幅为________，周期为________，波长为________，波速为________。])(cos[uxtAy]2)4(cos[5)24cos(5xtxty沿x负方向传播mA5T2sT2125.041smumuT5.0242.已知一简谐波在介质A中的传播速度为u，若该简谐波进入介质B时，波长变为在介质A中的波长的两倍，则该简谐波在介质B中的传播速度为________。AAuAABBuu222u253.一简谐波的波形曲线如图所示，若已知该时刻质点A向上运动，则该简谐波的传播方向为________，B、C、D质点在该时刻的运动方向为B________，C________，D________。D0ByxCAD0ByxCAuD0ByxCAuB点向上、C点向下、D点向上运动向右（x轴正方向）传播262.一平面简谐波的波形曲线如图所示，则（A）其周期为8s（B）其波长为10m（C）x=6m的质点向右运动（D）x=6m的质点向下运动。[]Dm8210周期未知ux(m)y(m)010-2262x=6m时质点向下运动27ux(m)y(m)010-22623.如果上题中的波速为u=10m/s，则其频率为(A)1.25Hz(B)1Hz(C)0.8Hz(D)条件不够，无法求解。m8已知uHzu25.1810[]A284.有一平面简谐波沿0x轴的正方向传播，已知其周期为0.5s，振幅为1m，波长为2m，且在t=0时坐标原点处的质点位于负的最大位移处，则该简谐波的振动方程为)4cos()()4cos()()4cos()()4cos()(xtyDxtyCxtyBxtyAmmAsT215.00x=AHzT25.0111422msu[]C)4cos()cos(])(cos[xtuxtuxtAy42295.一沿0x轴负方向传播的平面简谐波在t=T/4时的波形曲线如图所示，则原点0处质点振动的初相为(A)0(B)/2(C)(D)3/2[]Cyx0u0x=A])4(2cos[0TTA0)2cos(220v22)cos(tAy)2cos(tTA或将曲线向传播方向移动1/4周期。306.图为一平面简谐波在t=T/4时的波形图，则P点处的振动方程应为)25cos(2)()5cos(2)()2210cos(2)()2210cos(2)(xtyDxtyCxtyBxtyA[]A0x(m)y(m)4u=20m/s-2py0/2m4120msuHzu51102s)2210cos(2)cos(xtuxtAymA22318.一平面简谐波沿x轴负方向传播，其波长为，则位于x1=的质点的振动与位于x2=-/2的质点的振动相位差为2)(23)(3)(3)(DCBA[]B3232223)2(326.已知一平面简谐波的波动方程为y=7cos(3t-5x)(SI)，则在x1=-3m处的质点的振动方程为________________，它与在x2=4m处的质点的振动相位差为__________。mx31))(153cos(7)]53(3cos[71SItty))(203cos(7)]54(3cos[72SItty35)203(153tt335.一平面简谐波在t=t0时的波形曲线如图所示，其波速为u，周期为T，则原点处质点的振动方程为____________________；该简谐波的波动方程为____________________。u0t=t0yxA2)(2cos0ttTAyo]22)(2cos[]2)(2cos[00xTuttTAuxttTAy0y2原点处质点的振动方程波动方程34波是能量的传播过程，在研究波对物质的作用时，经常要考虑波传播过程中能量的传播。这是由于它与周围相邻部分有相互作用，进行着能量交换。六波的能量能流密度弹性媒质中各质元在平衡位置附近振动由于弹性媒质发生形变具有一定的动能具有弹性势能对一部分媒质来说，能量是不守恒的xxs35AByx动能最大时势能也最大研究某一时刻各点的位移横坐标x表示质点离波源0的距离；纵坐标y表示质点离开平衡位置的位移，则在某一时刻各点的位移x和y的关系为一余弦曲线。可看出，当质元A离开平衡位置的位移最大时（A点），速度为零，动能为零。36AByx与孤立质点的情形不同，这时势能不是决定于它离开平衡位置的位移，而是决定于它的相对形变dy/dx。虽然此时质点离开平衡位置的位移最大，但邻近各点也沿同一方向发生了位移，结果相对形变却为零，即A处质元没有发生形变。其实dy/dx就代表了曲线上任一点的斜率，A点的斜率为零则势能为零，所以动能为零时势能也为零。从图中还