高三数学B卷答案

2023年1月山西省高三适应性调研考试数学试题B卷答案1.CA={1,2,3,4},B={x|x3},A∩∁RB={1,2,3}.2.B|z(1+3i)|=|z||1+3i|=2,于是|z|=1.3.Cm2+1.45=-2.5lg14,m2=5lg2-1.45≈0.05.4.B易得圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4,直线过定点(4,2)且斜率为k,定点在圆上,又过点(4,2)与圆相切的直线没有斜率,故直线和圆必相交.5.BBF→=BA→+AF→=-AB→+13AC→=-AB→+13(AB→+AD→)=-23AB→+13AD→.6.A由表中数据可知ξi~B(2,pi),∴E(ξi)=2pi,D(ξi)=2pi(1-pi),又∵p1p2,∴E(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)-D(ξ2)=2(p1-p2)(1-p1-p2)0,D(3ξ1+1)D(3ξ2+1).7.B设第一次价格为p1,第二次价格为p2,方案一:若每次购买数量n,则两次购买的平均价格为x1=p1n+p2n2n=p1+p22,方案二:若每次购买钱数为m,则两次购买的平均价格为x2=2mmp1+mp2=21p1+1p2,作差可得x1≥x2,当且仅当P1=P2时,“=”号成立,所以方案二更经济.8.C可知T2π3T,于是3ω6,于是-π2≤-πω6+π30,ππω6+π3≤3π2,􀮠􀮢􀮡􀪁􀪁􀪁􀪁∴4ω≤5,∴ω=5,进一步验证C正确.9.AB去掉B点后,回归效果更好,则R2越趋于1,|r|越趋于1,残差平方和变小,相关性增强.10.ACDa0,b0,a+b≥2ab,∴ab≤14,当且仅当a=b=12时取最大值;a2+b22≥a+b22=14,∴a2+b2≥12,当且仅当a=b=12时取最小值;4a+1b=4a+1b(a+b)=5+4ba+ab≥5+24=9,当且仅当a=2b=23时取最小值;a+b22≤a+b2=12,a+b≤2.11.ACD计算得A正确;项以奇数、奇数、偶数的规律循环出现,故a2023为奇数,B错误;C中,∵an-1+an=an+1,a1+a3+a5+…+a2023=a1+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2024-a2022)=a1+a2024-a2=a2024,故C正确;D中,a2+a4+a6+…+a2024=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2022+a2023)=S2023,故D正确.12.ABD直线BP与直线AD所成角即为∠PBC,在Rt△BCP中,tan30°=CPBC,∴CP=33,故P在以C为圆心,33为半径的圆落在侧面CC1D1D内的圆弧上,A正确;过P作PP1⊥DC于点P1(图略),设P1C=a,P1P=b,直线BP与平面ABCD所成角即为∠PBP1,在Rt△PBP1中,tan∠PBP1=PP1BP1=ba2+1=33,从而3b2-a2=1,故点P的轨迹为双曲线的一部分,故B正确;在Rt△D1DQ中,|D1Q|=52=DD21+DQ2,从而|DQ|=12,故Q在以D为圆心,12为半径的圆落在底面AB-CD内的圆弧上,C错误;高三数学试题B卷答案第1页(共4页)Q到直线DD1的距离等于Q到平面ABB1A1的距离,即Q到点D的距离等于Q到直线AB的距离,故点Q的轨迹为抛物线的一部分,故D正确.13.解析:f'(x)=sinxcosx'=sin'xcosx-sinxcos'xcos2x=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x.答案:1cos2x14.解析:易得a=2,设二项展开式的第k+1项Tk+1=Ck6(2x2)6-k1xk=Ck626-kx12-3k,当k=4时,常数项为60.答案:6015.f(x)=-cosπx(答案不唯一,满足条件即可)16.解析:过P作准线的垂线,垂足为Q,过A作准线的垂线,垂足为B(图略),于是△PAF周长=PF+PA+AF=PQ+PA+AF≥AB+AF=5+10,周长最小时P为AB与抛物线的交点.答案:5+1017.解:(1)选①.由b(1+cosC)=3c·sinB及正弦定理得sinB(1+cosC)=3sinCsinB.2分……………………………………………………………………………………又B∈(0,π),∴sinB≠0,于是1+cosC=3sinC,232sinC-12cosC=1,即sinC-π6=12,又C∈(0,π),∴C-π6=π6,故C=π3.5分……………………………………………………………………………………………选②.由sinA-12sinB2=sin2C-34sin2B及正弦定理得a-12b2=c2-34b2,2分…………………………化简得a2+b2-c2=ab,于是cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,又C∈(0,π),故C=π3.5分………………………选③.由3bcosC+ccosB=a+b及正弦定理得3sinBcosC+sinCcosB=sinA+sinB=sinB+sin(C+B)=sinB+sinCcosB+cosCsinB,又B∈(0,π),∴sinB≠0,2分…………………………………………………………………………………………………………于是3cosC=1+cosC,cosC=12,又C∈(0,π),故C=π3.5分……………………………………………………(2)CP→=CB→+23BA→=23CA→+13CB→,7分………………………………………………………………………………两边平方有:CP→2=19CB→2+49CA→2+49CA→·CB→,所以CP→2=19×4+49×9+49×3×2×12=529,|PC|=2133.10分………………………………………………18.(1)解:由题意得a1=2,a2=4,a3=6,2分……………………………………………………………………………从而d=2,∴an=2n,4分………………………………………………………………………………………………于是Sn=n(2+2n)2=n2+n.6分………………………………………………………………………………………(2)证明:bn=1a2n=14n214n2-1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+19分……………………………………Tn=14×12+14×22+…+14×n21211-13+1213-15+…+1212n-1-12n+1=121-12n+112.12分……………………………………………………………………………………………高三数学试题B卷答案第2页(共4页)19.解:(1)取AD的中点O,连接PO,OC,∵△PAD为等边三角形,∴PO⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.2分…………………………………………………………………以O为坐标原点,直线OC,OD,OP分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,于是A(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0),P(0,0,3),CP→=(-1,0,3),CD→=(-1,1,0),设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),∴n⊥CP→,n⊥CD→,于是n·CP→=-x+3z=0,n·CD→=-x+y=0,取z=1,则n=(3,3,1),4分……………………………………又BC→=(0,1,0),故B到平面PCD的距离d=|BC→·n||n|=37=217.6分……………………………………………………………(2)设E(s,t,r),PE→=λPD→,∴(s,t,r-3)=λ(0,1,-3),∴E(0,λ,3-3λ),AC→=(1,1,0),AE→=(0,λ+1,3-3λ),设平面EAC的法向量为m=(x',y',z'),∴m⊥AC→,m⊥AE→,于是m·AC→=x'+y'=0,m·AE→=(λ+1)y'+(3-3λ)z'=0,取y'=3(λ-1),则m=(3(1-λ),3(λ-1),λ+1),9分…………………………………………………………………………………………………………………又平面DAC的法向量为OP→=(0,0,3),于是cosOP→,m=OP→·m|OP→||m|=3(λ+1)33(1-λ)2+3(λ-1)2+(λ+1)2=λ+17λ2-10λ+7=105,化简得3λ2-10λ+3=0,又λ∈[0,1],得λ=13.即PEPD=13.12分…………………………………………………20.解:(1)记事件Ai表示第i次从第一个盒子里取出红球,记事件B表示两次取球中有红球,则P(B)=1-P(B)=1-35×24=1-310=710.4分……………………………………………………………………………………………P(A2|B)=P(A2B)P(B)=P(A1A2)+P(A1A2)P(B)=2×15×4+3×25×4710=47.6分………………………………………………(2)记事件C1表示从第一个盒子里取出红球,记事件C2表示从第一个盒子里取出白球,记事件D表示从第二个盒子里取出红球,则P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)=25×57+35×47=2235.12分………………………………………21.(1)解:由题意得42a2-32b2=1,b=3,得a=2,3分……………………………………………………………………………从而双曲线C的方程为x24-y23=1.4分………………………………………………………………………………(2)证明:设直线BN的斜率为k,则直线AM的斜率为-2k,联立直线BN与双曲线方程x24-y23=1,y=k(x-2),得(3-4k2)x2+16k2x-16k2-12=0,高三数学试题B卷答案第3页(共4页)于是2xN=16k2+124k2-3,从而xN=8k2+64k2-3,从而yN=12k4k2-3,6分……………………………………………………联立直线AM与双曲线方程x24-y23=1,y=-2k(x+2),得(3-16k2)x2-64k2x-64k2-12=0,于是-2xM=64k2+1216k2-3,从而xM=-32k2-616k2-3,从而yM=24k16k2-3,8分……………………………………………于是kMN=yM-yNxM-xN=24k16k2-3-12k4k2-3-32k2-616k2-3-8k2+64k2-3=24k3+9k64k4-9=3k8k2-3,从而MN:y-12k4k2-3=3k8k2-3x-8k2+64k2-3,10分……………………………………………………………………化简得y=3k8k2-3(x+6),从而l过定点(-6,0).12分………………………………………………………………22.解:(1)f'(x)=2x-2mx.1分……………………………………………………………………………………………①当m≤0时,f'(x)0,∴f(x)单调递增,又f(1)=0,故当0x1时,f(x)0,不满足题意,舍去;2分……②当m0时,f'(x)=2x2-2mx0,xm,∴f(x)在(0,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(m)=m-mlnm-1.4分………………………………………………………………………………令g(m)=m-mlnm-1,g'(m)=-lnm,令g'(m)0,得0m1,故g(m)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴g(m)≤g(1)=0,故m=1.6分……………………………………………………………………………(2)由(1)知:当m=1时,x2-2lnx≥1恒成立,aex2-1-1≥2lnx-lna等价于ex2-1+lna≥2lnx-lna+1,又等价于ex2-1+lna+x2-1+lna≥x2+2lnx=x2+lnx2=elnx2+lnx2.8分……………………………………令h(t)=et+t,显然h(t)单调