四川省宜宾市第四中学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题

四川省宜宾市四中高2023届高三上期末考试理科数学本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2}S，{0,3}T，PST，则P的真子集共有A．0个B．1个C．2个D．3个2．设2z2i1i，则z的虚部是A．2B．1C．2D．13．设向量(1,)axx，(1,2)b，若//ab，则xA．32B．-1C．23D．324．已知点O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且3++=0OAOBOC，则A．12AOODB．23AOODC．12AOODD．23AOOD5．某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩~105,100XN.若已知901050.36PX，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为A．0.86B．0.64C．0.36D．0.146．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大一些D．男生不喜欢理科的比为60%7．已知πcos2cosπ2，πtan4则A．4B．4C．13D．138．在ABC，已知2AB，5AC，tan3BAC，则BC边上的高等于A．1B．2C．3D．29．若函数sin4fxx(0)的图象向左平移3个单位后，所得图象关于原点对称，则的最小值为2A．14B．34C．74D．9410．已知0x是函数33logxfxx的零点，若00mx，则fm的值满足A．0fmB．0fmC．0fmD．fm的符号不确定11．设F为抛物线2:2(0)Cypxp的焦点，曲线(0)kykx与C相交于点A，直线FA恰与曲线(0)kykx相切于点A，FA交C的准线于点B，则FABA等于A．14B．13C．23D．3412．已知函数,0ln,0xxexfxxx，若gxfxax有四个不同的零点，则a的取值范围为A．10,eB．1,1eC．1,eD．,e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足约束条件0233xxyxy，则4zxy的最大值等于______.14．已知函数3()(21)2xfxmxe，若曲线()yfx在(0,(0))f处的切线与直线420xy平行，则m__________.15．已知3(2)(1)mxx的展开式中3x的系数为5，则m________.16．定义域为R的偶函数fx满足110fxfx，当0,1x时，sin2xfx，给出下列四个结论：①1fx；②若120fxfx，则120xx；③函数fx在0,4内有且仅有3个零点；④若123xxx，且123fxfxfx，则31xx的最小值为4.其中，正确结论的序号是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。17．（12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资，得到这100名农民工的月工资均在25,55(百元)内，且月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:（1）求n的值；（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名.①完成如下所示22列联表技术工非技术工总计月工资不高于平均数50月工资高于平均数50总计5050100②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?参考公式及数据:22()()()()()nadbcKabcdacbd，其中nabcd.20PKk0.050.010.0050.0010k3.8416.6357.87910.82818．（12分）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量m、n满足sinsin,sinsinmABBC，,nabc，mn．(1)求A；(2)若3BD，243bc，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在三棱锥PABC中，2,ABBC2,PAPBPCACO为AC的中点.（1）证明:POBC；（2）若点M在线段BC上，且直线AM与平面PAC所成角的正4弦值为1010，求直线AC与PM所成角的余弦值.20．（12分）已知椭圆C：22221xyab（0ab）的左右焦点分别为1F，2F，离心率为32，椭圆C上的一点P到1F，2F的距离之和等于4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设3,0P，过椭圆C的右焦点2F的直线与椭圆C交于A，B两点，若满足PAPBm恒成立，求m的最小值.21．（12分）已知函数21()sincos2fxxxxax，[,]x.（1）当0a时，求()fx的单调区间；（2）当0a，讨论()fx的零点个数；（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为42(4xcosysin为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为6R．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，P为曲C上的一动点，求△PAB面积的最大值.23．已知2122fxxxx.（1）求证：5fx；（2）若对任意实数229,1521xfxaa都成立，求实数a的取值范围.四川省宜宾市四中高2023届高三上期末考试理科数学参考答案：1．B2．D3．C4．B5．D6．C7．C8．A9．B10．B11．B12．A13．13214．1315．116．①③17．解：（1）月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15月工资收入在[45,50)(百元)内的频率为:150.15100；由频率分布直方图得:(0.020.0420.01)50.151n0.05n（2）①根据题意得到列联表:技术工非技术工总计月工资不高于平均数193150月工资高于平均数311950总计50501002100(19193131)5.7610.82850505050K不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关.18解：（1）∵sinsin,sinsinmABBC，,nabc，mn，∴sinsinsinsin0ABabBCc．∴0ababbcc，即222bcabc．∴2221cos22bcaAbc．∵0A，∴3A．（2）在△ABD中，由3BD，3A和余弦定理，得2222232cosBDABADABADAABADABAD．∵D是AC的中点，∴2bAD∴22322bbcc，化简得224212cbbc，即22612bcbc．∵243bc，∴243612bc，解得6bc．∴11333sinsin22342ABCbcSbcAbc．∴△ABC的面积为332．19．解：（1）因为2,ABBC2AC，所以有222ABBCAC，所以三角形ABC是直角三角形，而O为斜边AC的中点.所以三角形ABC的外心为点O，因为PAPBPC，所以点P在底面ABC的射影是底面ABC的外心，因此PO平面ABC，而BC平面ABC，因此有POBC；（2）由（1）可知：PO平面ABC，而PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC，过M作MDAC，垂足为D，因为平面PAC平面ABCAC，所以MD平面PAC，因为直线AM与平面PAC所成角的正6弦值为1010，所以10sin10DAM，设BMx，所以22AMx，因此由210(2)10sin1010xDMDAMDMAM，因此有210(2)210xCM，根据2BCAMCM，可得210(2)222102xxx或22x（舍去），故22x，因此点M是线段BC的中点，取BA的中点E，连接,EMPE，则有1//,12EMACEMAC，所以PME是直线AC与PM所成角（或补角），因为2PAPBPC，2ABBC，所以22114()22PMPEPBAB，由余弦定理可知：22214cos27PMEMPEPMEPMME.20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得，2223224ceaaabc，解得213abc，∴椭圆C的标准方程为：2214xy；（2）由（1）可知23,0F，设11,Axy，22,Bxy，则113,PAxy，223,PBxy，12121212123339PAPBxxyyxxyyxx，①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为3x，得123xx，代入得112y，212y，或112y，212y，则47634PAPB，②当直线l不与x轴垂直时，设直线的方程为3ykx，联立22143xyykx，得222214831240kxkxk，由韦达定理得21228314kxxk，212212414kxxk，2212121223314kyykxxxxk，22222222472435124833914141414kkkkPAPBkkkk令214k，1t，则214kt，1472435472432746344tPAPBtt，又因函数243274ftt在1,上是减函数，4724332763544PAPB，综上：m的最小值为5.21．解：∵()()fxfx∴()fx为偶函数，只需先研究[0,]x,()sincosfxxxx,()sincossincosfxxxxxxx,当0,2x，()0fx，当,2x，()0fx，所以()fx在0,2x单调递增，在,2x，单调递减,所以根据偶函数图象关于y轴对称，得()fx在,2x单调递增，在,02x单调递减，故()fx单调递减区间为：,02，,2；单调递增区间为：,2，0,2.（2）()cos(cos)fxxxaxxxa,①1a时，()(cos)0fxxxa在[0,]x恒成立,∴()fx在[0,]x单调递增又(0)1f，所以()fx在[,]x上无零点②01a时，0(0,)x，使得00cos0xxa，即0cosxa.又cosx在(0,)单调递减，所以00,xx，()0fx，0,xx，()0fx所以00,xx，