四川省泸县第四中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题

四川省泸县四中高2023届高三上期末考试理科数学本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2Axx，230Bxxx，则ABA．2,3B．2,0C．0,2D．2,32．若复数211izxx为纯虚数（i为虚数单位），则实数x的值为A．1B．0C．1D．1或13．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是A．0.005aB．估计这批产品该项质量指标的众数为45C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在50,70的概率约为0.54．若实数x，y满足约束条件2301030xyxyxy，则2zxy的最小值为A．1B．4C．5D．145．执行下面的程序框图，如果输出的n＝4，则输入的t的最小值为A．14B．18C．116D．1326．一个容器装有细沙3cma，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，mint后剩余的细沙量为3cmbtyae，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为A．24minB．26minC．8minD．16min7．已知α满足2sin()46，则2tantan1A．3B．﹣3C．49D．498．已知曲线322yxxx在1x处的切线为l，若l与222:250Cxyaxa相切，则实数aA．2或3B．2或3C．2D．39．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是2A．25B．12C．35D．31010．已知定义在R上的偶函数fx，其导函数为fx，若()2()0xfxfx，(3)1f，则不等式()19fxxx的解集是A．(,3)(0,3)B．3,3C．(3,0)(0,3)D．(,3)(3,)11．已知双曲线1C：xye上一点11(,)Axy，曲线2C：1ln()yxxm(0)m上一点22(,)Bxy，当12yy时，对于任意1x，2x都有ABe恒成立，则m的最小值为A．1eB．eC．1D．1e12．在三棱锥PABC中，已知2PAABAC，2PAB，23BAC，D是线段BC上的点，2BDDC，ADPB．若三棱锥PABC的各顶点都在球O的球面上，则球O的半径为A．1B．2C．3D．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆22xy12516，则椭圆的焦点坐标是______．14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．15．已知AB，CD是过抛物线28yx焦点F且互相垂直的两弦，则11AFBFCFDF的值为__________.16．已知函数()sin()(0,)Rfxx在区间75,126上单调，且满足73124ff．有下列结论：①203f；②若5()6fxfx，则函数fx的最小正周期为；③关于x的方程1fx在区间0,2上最多有4个不相等的实数解；④若函数fx在区间213,36上恰有5个零点，则的取值范围为8,33．其中所有正确结论的编号为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。17．（12分）ABC的内角,,ABC的对边分别为cba,,，已知2sin8)(sin2BCA．（1）求cosB；（2）若6ac，ABC面积为2，求b．18．（12分）体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1:3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在0,60范围内，且规定分数在40分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的22列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别非城镇学生城镇学生合计优良不优良115合计200（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取3名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这3名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？附参考公式与数据：22nadbcKabcdacbd，其中nabcd．20PKk0.150.100.050k2.0722.7063.84119．（12分）如图，在三棱锥PABC中，ABC为直角三角形，90ACB，PAC△是边长为4的等边三角形，23BC，二面角PACB的大小为60，点M为PA的中点．（1）请你判断平面PAB垂直于平面ABC吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（2）求CM与平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆222210xyabab的离心率为22，右焦点为F，上顶点为A，左顶点为B，且 ||||1052FAFB.（1）求椭圆的方程；（2）已知4,0C，4,0D，点P在椭圆上，直线PC，PD分别与椭圆交于另一点M，N，若CPCM，4DPDN，求证：为定值.21．（12分）已知函数lnaxfxbxx在1x处的切线方程为1yx.（1）求函数yfx的解析式；（2）若不等式fxkx在区间0,上恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：444ln2ln3ln1232nne.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程1cossinxy（为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是sin3cos33，射线:3OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23．设()|1||3|fxxx．（1）对一切xR，不等式()fxm恒成立，求实数m的取值范围；（2）已知0,0,()abfx最大值为M，(2)2abMab，且224128ab，求证：216ab．四川省泸县四中高2023届高三上期末考试理科数学参考答案：1．A2．C3．C4．B5．C6．D7．D8．A9．D10．A11．A12．D13．3,0，3,014．6315．11616．①②④．17．（1）2sin8sin2BAC，∴sin41cosBB，∵22sincos1BB，∴22161coscos1BB，∴17cos15cos10BB，∴15cos17B；（2）由（1）可知8sin17B，∵1sin22ABCSacB，∴172ac，∴2222222217152cos2152153617154217bacacBacacacac，∴2b．18．（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为1:3，且样本容量为200，所以非城镇学生人数为50，城镇学生人数为150，故城镇学生优良人数为15011535，又因为优良学生的人数为0.0050.021020050，所以非城镇优良学生共为503515，则非城镇不优良学生人数为501535，类别非城镇学生城镇学生合计优良153550不优良35115150合计50150200代入数据计算222001511535350.8892.7065015050150K，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关；（2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为5012004p，记3人中成绩为“优良”的人数为随机变量X，则1~3,4XB，所以13344EX，故成绩为“优良”人数的期望值为34．19．（1）平面PAB平面ABC理由如下：如图，分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，则//DEBC．因为90ACB，23BC．所以DEAC，3DE．因为PAC△是边长为4的等边三角形，所以PDAC，23PD．于是，PDE为二面角PACB的平面角，则60PDE，在PDE△中，由余弦定理，得222cos603PEPDDEPDDE，所以222=PDPEED，所以PEED．因为EDAC，PDAC，EDPDD，所以AC平面PED，所以ACPE．又ACEDD，所以PE平面ABC因为PE平面ABC．所以平面PAB平面ABC．（2）以点C为原点，CA，CB分别为x，y轴，过点C且与PE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,23,0)B，(4,0,0)A，(2,3,0)E，(2,3,3)P，33(3,,)22M333,,22CM，0,23,0CB，2,3,3CP．6设平面PBC的一个法向量为111,,nxyz，则00nCBnCP，即1111230,2330yxyz取13x，则3,0,2n．所以CM与平面PBC所成角的正弦值639sincos,132313CMn20．解：1设,0Fc.由题意得 ||FAa，||FBac，22ca，222abc，||||1052FAFBaac.解得210a，25b.椭圆的方程为221105xy.2设00,Pxy，11,Mxy，22,Nxy.由CPCM，DPDN，得00114,4,xyxy，00224,4,xyxy，010141,,xxyy，020241,,xxyy1284xx，①又点P，M，N均在椭圆上，由220022222111,105,105xyxy且01,yy得01012110xxxx，01512xx.②同理，由220022222221,105,105xyxy且02,yy得22002110xxxx02512xx.③联立②③得12552xx.④联立①④得263，为定值263.21．（1）lnaxfxbxx，该函数的定义域为0,，21lnaxfxbx，由题意可知，点1,1f在直线1yx上，