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书书书!高三数学参考答案!第!!!!!页#共页$理科%#$%&’(#&#$届高三考试数学试题参考答案!理科!!(!#解析$本题考查集合的运算%考查数学运算的核心素养!#)!%*%$##$#*#!#!+!#解析$本题考查复数的四则运算%考查数学运算的核心素养!因为$)#%,所以$$$)-则$$$%#.#,)$.#,!$!/!#解析$本题考查等比数列的通项公式及求和公式%考查数学运算的核心素养!因为公比%)&#.&$.&*&!.&#.&$)#所以’%’$)&*.&-.&)%$!&!.&#.&$#)01’)-!*!2!#解析$本题考查函数的图象和性质%考查逻辑推理与直观想象的核心素养!因为(!%)#)345)%67!%)!.))%(!)#所以(!)#是奇函数排除+/当)%!&!##时345)&&67!.)!%)&&所以(!)#&&排除(故选2!-!(!#解析$本题考查三角函数的性质%考查数学运算与直观想象的核心素养!由题意*!)#)5,7$!#!)%!#.!&)5,7!!#).!%!!!##因为+)*!)#为奇函数所以!%!!!#),!!,%!#解得!)#%!#,!,%!#又!&&所以当,)&时!取得最小值#!!+!#解析$本题考查函数的性质%考查逻辑推理的核心素养!因为(!%)#)(!)#所以(!)#是偶函数当)&&时(!)#)*)!.))*%*!.)是增函数!又因为(!!#)#所以(!#)%$#’#可化为(#)%$(’!解得!’)’#!!#!!!#!$%’!/!#解析$本题考查三视图%考查直观想象与数学运算的核心素养!如图这是所求多面体的直观图它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成所以体积-)!!#1#1$#1#.!$1!#1##1$)!&!0!2!#解析$本题考查统计的知识%考查数据分析与数学运算的核心素养!设女生身高频率分布直方图中的组距为)由!&.!8-&.#&.#8-&.$&#))!得&))&8!所以女生身高频率分布直方图中#层次频率为#&9.层次频率为$&9/层次频率为#-90层次频率为!-91层次频率为!&9!因为男’女生样本数未知所以#层次中男’女生人数不能比较即选项+错误(同理0层次女生在女生样本数中频率与1层次男生在男生样本数中频率相等都是!-9但因男’女生人数未知所以在整个样本中频率不一定相等即(错误(设女生人数为2男生人数为!&&&%2但因男’女生人数可能不相等则.层次的学生数为&8$2.&8#-1!!&&&%2#)&8&-2.#-&/层次的学生数为&8#-2.&8$1!!&&&%2#)$&&%&8&-2因为2不确定所以&8&-2.#-&与$&&%&8&-2可能不相等即/错误(女生#.两个层次的频率之和为-&9所以女生的样本身高中位数为./层次的分界点男生#.两个层次的频率之和为$-9显然中位数落在/层次内所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大2正确!:!2!#解析$本题考查三棱锥中线面角的正弦值的计算%考查直观想象与数学建模的核心素养!设#.)./)#/0的中点为1连接#1.1!图略#易知).#1是直线#.与平面#/0所成的角因为#.*.1所以5,7).#1)槡$##槡.$)槡#!’!!&!/!#解析$本题考查排列组合的知识%考查数学抽象与数学建模的核心素养!先选出#名志愿者安排到#社区再把剩下的$名志愿者分成两组分配到其他两个社区则不同的安排方法共有(#-(#$+##)&种!!!!(!#解析$本题考查双曲线的性质%考查推理论证能力与数学运算的核心素养!!高三数学参考答案!第#!!!!页#共页$理科%#$%&’(!!#$%&如图设(#3!()4则(#3#()4%#&!又(#.()#(#3!(所以(.3#()4.#&所以(.3!()4.*&!又#3!*#.所以(.3!(槡)-4由4.*&槡)-4得4)!槡-.!#&)(#3!(则(#3#()4%#&)!槡#-%!#&而(3!3#()#5则*5#)!槡-.!##&#.!槡-%!##&#化简得5#)$&#所以6)5&槡)$!!#!+!#解析$本题考查对数的大小比较%考查逻辑推理与数学运算的核心素养!!方法一#&)*67#7)67$5)!&67-令(!)#)#)67)则&)(!##7)(!$#5)(!-#且(8!)#)#67)%#!67)##!易知(!)#在!;.#上单调递增!又因为&)*67#)0#67#)067*)(!*#$’*’-所以7’&’5!!方法二#&75均为正数!由&7)#$167$67#)67:670&!得&&7!由5&)-#167#67-)67$#67#-&!得5&&所以5&&&7!!$!0!!#解析$本题考查等差数列的通项公式%考查数学运算的核心素养!因为&#.&*)#&$)!*所以&$)’又&!)$所以公差9)#从而&*&)$.#1$:)0!!!*!!!#解析$本题考查平面向量的垂直以及求模%考查数学运算的核心素养!因为!*!!.##所以!#.#!%)&(!.(#)!#.#!%.#)!则(!.()!!!#$%&’(!-!+#)0)!#解析$本题考查抛物线的概念与性质%考查逻辑推理的核心素养!过点.作抛物线/准线的垂线垂足为1由抛物线的定义知(.3()(.1(又(#.()槡-(.3(所以(#1()#(.1(所以=7)1#.)!#所以=7):03)!#!又(:3();#所以(:0();所以’+0:3)*)!#1;#1;);#*则;)*所以抛物线/的方程为+#)0)!!!槡##:!#解析$本题考查直线与圆%考查直观想象与数学抽象的核心素养!!!!!##!!$$%&$%#&&%因为(//!()(//#((/#!()(/.#(所以康威圆的圆心在)#/.的平分线上同理可知康威圆的圆心在)#./的平分线上即康威圆的圆心为+#./的内心!因为&#.7#)5#所以)#/.):&?所以+#./的内切圆的半径)-.!#%!$#)#则康威圆的半径=)#.!-.!#.!$##槡#槡)##:!!’!解)!!#因为!7%5#!5,7..5,7/#)!&.5#5,7#所以!7%5#!7.5#)&!&.5##分………………………………………………………………………………展开得&#.5#%7#)%&5所以345.)%&5#&5)%!#*分……………………………………………………因为&’.’!所以.)#!$!分…………………………………………………………………………………!##由!!#知’+#./)!#&55,7.)槡$*&5槡)$解得&5)*0分…………………………………………………因为7)槡$!&.5##由余弦定理得&#.5#%7#)#&5345.)%&5!&分………………………………………即!&.5##%$!&.5##*)&5)*解得&.5)*7槡)#$!!分…………………………………………………所以+#./的周长为&.7.5槡)#$.*!!#分…………………………………………………………………!高三数学参考答案!第$!!!!页#共页$理科%#$%&’(评分细则)*!+第一问写出!7%5#!7.5#)&!&.5#得#分写出345.)%&5#&5)%!#累计得*分第一问全部正确解出累计得分!*#+第二问用面积公式求出&5)*累计得0分最后求出正确答案累计得!#分!*$+其他情况根据评分标准按步骤给分!!0!解)!!#学生甲恰好答对两题的概率)!$*##1!$.#1$*1!*1#$)’!!*分……………………………!##随机变量?的可能取值为&!#$-分……………………………………………………………………所以!?)&#)!!*##1!$)!*0分…………………………………………………………………………!?)!#)(!#1$*1!*1!$.!!*##1#$)!’分…………………………………………………………由!!#知!?)##)’!0分………………………………………………………………………………………!?)$#)!$*##1#$)$0:分…………………………………………………………………………………所以?的分布列为?&!#$!*0!’!$0!&分………………………………………………………………………………………………………………1!?#)!1!.#1’!.$1$0)!$!!#分……………………………………………………………………评分细则)*!+第一问算出)’!得本步骤的*分!*#+第二问写出随机变量?的可能取值得!分每算出一个概率得!分正确写出期望累计得!#分!!:!!!#证明)因为10*平面#./0所以/0*01!!分…………………………………………………………因为.0*/0.0,01)0所以/0*平面.01!#分………………………………………………………因为01)#/3且@为01的中点所以/3)0@$分……………………………………………………又因为/3-0@所以四边形/0@3是平行四边形则@3-0/*分………………………………………所以@3*平面.01!-分………………………………………………………………………………………!#$%&’()*+!##解)以0为坐标原点.//0..//0/.//01的方向分别为)+$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系0%)+$!分…………………………………………………设#0)#则0!&&&#.!槡$&!&&##3!&!!#!&&!$#.//.)!槡%$&!$#.//.3)!槡%$!!#!’分…………………………………………设平面.3的法向量为#)!)+$#由.//.%#)&.//.3%#)&,得槡%$).!$$)&槡%$).+.$)&0120分…………………………………………不妨令))!则#)!!槡%#$槡$$#!:分………………………………………………………………………因为.0*平面/0所以可取平面03的法向量为$)!!&&#!&分……………………………………因为345-#$.)#%$(#(($()!!1!#.!槡%#$##.!槡$$#槡#)槡!&#&!高三数学参考答案!第*!!!!页#共页$理科%#$%&’(所以二面角.%3%0的余弦值为槡!&#&!!#分………………………………………………………………评分细则)*!+第一问证出/0*01得!分证出@3-0/累计得*分第一问全部证完累计得-分!若第一问就用空间向量法证线面垂直参考上述步骤给分#!*#+第二问建立空间直角坐标系得!分写出相关点和相关向量的坐标得!分计算出平面.3的法向量得#分写出平面03的一个法向量得!分直至正确求出二面角的余弦值累计得!#分!*$+若用传统做法作出二面角的平面角得!分简单证明得#分整个题完全正确得满分!#&!解)!!#由右顶点是A!#&#得&)#又离心率6)!#)5&所以5)!#分…………………………………所以7#)&#%5#)$所以椭圆/的标准方程为)#*.+#$)!!*分………………………………………………!#$%&’!##设#!)!+!#.!)#+##显然直线B的斜率存在!设直线B的方程为+),!)%*#联立方程组+),!)%*#$)#.*+#)!#,消去+得!*,#.$#)#%$#,#).*,#%!#)&由&&得%!#’,’!#所以)!.)#)$#,#*,#.$)!)#)*,#%!#*,#.$!分…………………………………因为点0!)#%+##所以直线#0的方程为+)+!.+#)!%)#!)%)!#.,!)!%*#!’分…………………………又+!.+#),!)!.)#%0#0分…………………………………………………………………………………所以直线#0的方程可化为+)#*,!)#%)!#!*,#.$#).,)!!)!.)#%0#)#%)!.,!)!%*#!)#%)!#)#%)!!&分………即+)#*,!)#%)!#!*,#.$#)%#*,!)#%)!#!*,#.$#)#*,!)#%)!#!*,#.$#!)%!#!!分…………………………所以直线#0恒过点!!&#!!#分………………