安徽省十校联考2023届高三上学期第一次教学质量检测数学试题

安徽省十校联考2023届高三上学期第一次教学质量检测数学试题一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设全集𝑈={−2,−1,0,1,2}，集合𝐴={𝑥|𝑥2=4},𝐵={𝑥|𝑥2+𝑥−2=0}，则∁𝑈(𝐴∪𝐵)=()A.{−2,−1,1,2}B.{−2,−1,0}C.{−1,0}D.{0}2.若复数𝑧满足(2+2𝑖)𝑧=4，则𝑧=()A.1+𝑖B.1−𝑖C.2+𝑖D.2−𝑖3.已知向量𝑎⃗,𝑏⃗⃗均为单位向量，且𝑎→⊥𝑏→，则(2𝑎⃗⃗⃗−𝑏⃗⃗)⋅(𝑎⃗⃗⃗+4𝑏⃗⃗)=()A.2B.−2C.4D.−44.学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是()A.88分B.89分C.90分D.92分5.已知实数𝑎𝑏𝑐,𝑎𝑏𝑐≠0，则下列结论一定正确的是()A.𝑎𝑏𝑎𝑐B.𝑎𝑏𝑏𝑐C.1𝑎1𝑐D.𝑎𝑏+𝑏𝑐𝑎𝑐+𝑏26.已知函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥2−𝑎𝑥+𝑎)，若∃𝑥0∈𝑅，使得𝑓(𝑥)⩾𝑓(𝑥0)恒成立，则实数𝑎的取值范围是()A.1𝑎4B.0𝑎4,𝑎≠1C.0𝑎1D.𝑎⩾47.将函数𝑓(𝑥)=sin (2𝑥+𝜑)(0𝜑𝜋)的图象向右平移𝜋6个单位长度得到𝑔(𝑥)的图象，若𝑔(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝜋3对称，则𝑔(𝜋6)=()A.−√32B.−12C.0D.128.已知直线𝑙:𝑚𝑥+𝑦−3𝑚−2=0与圆𝑀:(𝑥−5)2+(𝑦−4)2=25交于𝐴,𝐵两点，则当弦𝐴𝐵最短时，圆𝑀与圆𝑁:(𝑥+2𝑚)2+𝑦2=9的位置关系是()A.内切B.外离C.外切D.相交9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章⋅大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”属于现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列数{𝑎𝑛}，记{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，则𝑆10=()A.495B.522C.630D.73010.已知等边△𝐴𝐵𝐶的顶点都在球𝑂的表面上，若𝐴𝐵=√3，直线𝑂𝐴和平面𝐴𝐵𝐶所成角的正切值为√2，则球𝑂的表面积为()A.8𝜋B.12𝜋C.16𝜋D.20𝜋11.已知抛物线𝐶:𝑥2=12𝑦的焦点为𝐹，其准线与𝑦轴的交点为𝐴，点𝐵为抛物线上一动点，当|𝐴𝐵||𝐹𝐵|取得最大值时，直线𝐴𝐵的倾斜角为()A.𝜋4B.𝜋3C.𝜋6或5𝜋6D.𝜋4或3𝜋412.已知定义在𝑅上的偶函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥−32)−𝑓(−𝑥−32)=0,𝑓(2022)=1𝑒，若𝑓(𝑥)𝑓′(−𝑥)，则不等式𝑓(𝑥+2)1𝑒𝑥的解集为()A.(1,+∞)B.(−∞,1)C.(−∞,3)D.(3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若角𝛼的终边在第四象限，且cos 𝛼=45，则tan (5𝜋4−𝛼)=．14.已知双曲线𝐸:𝑥2𝑎2−𝑦29=1(𝑎0)的渐近线方程为𝑦=±√3𝑥，则双曲线𝐸的焦距等于．15.现有5同学站成一排拍照毕业留念，在“甲不站最左边，乙不站最右边”的前提下，丙站最左边的概率为．16.在侧棱长为√2，底面边长为2的正三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐵，𝐵𝐶的中点，𝑀，𝑁分别为𝑃𝐸和平面𝑃𝐴𝐹上的动点，则𝐵𝑀+𝑀𝑁的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,cos𝐴sin 𝐵=(2−cos 𝐵)sin 𝐴．(1)求𝐴的最大值;(2)若cos 𝐵=14,△𝐴𝐵𝐶的周长为10，求𝑏．18.(本小题12.0分)已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛−1−𝑎𝑛=−2(𝑛≥2且𝑛∈N∗)，且𝑎2=4．(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式;(2)设数列{2𝑛(𝑎𝑛−1)(𝑎𝑛+1−1)}的前𝑛项和为𝑇𝑛，求证：23≤𝑇𝑛1．19.(本小题12.0分)如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐵𝐶=𝐵𝐵1,𝐵𝐶1∩𝐵1𝐶=𝑂,𝐴𝑂⊥平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶．(1)求证：𝐴𝐵⊥𝐵1𝐶;(2)若∠𝐵1𝐵𝐶=60∘，直线𝐴𝐵与平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶所成的角为30∘，求二面角𝐴1−𝐵1𝐶1−𝐴的正弦值．20.(本小题12.0分)国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我促销”活动，顾客消费满300元(含300元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种)．方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球(其中红球1个，黑球4个)的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元．方案二：从装有10个形状，大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，规则为：若摸出2个红球，1个白球，享受免单优惠;若摸出2个红球和1个黑球则打5折;若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折;其余情况不打折．(1)某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望;(2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理?21.(本小题12.0分)如图，已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的左、右顶点分别是𝐴,𝐵，且经过点(1,−√32)，直线𝑙:𝑥=𝑡𝑦−1恒过定点𝐹且交椭圆于𝐷,𝐸两点，𝐹为𝑂𝐴的中点．(1)求椭圆𝐶的标准方程;(2)记▵𝐵𝐷𝐸的面积为𝑆，求𝑆的最大值．22.(本小题12.0分)设函数𝑓(𝑥)=ln(𝑥+1)−𝑎2e𝑥,𝑎∈𝐑．(1)若𝑎=−1，求函数𝑓(𝑥)的图象在点(1,𝑓(1))处的切线方程;(2)若𝑓(𝑥)+𝑎≤0恒成立，求正数𝑎的取值范围．1.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查集合的并集、补集运算，属于较易题．先化简集合𝐴、𝐵，求𝐴∪𝐵，再求∁𝑈(𝐴∪𝐵)即可得．【解答】解：因为𝐴={𝑥|𝑥2=4},𝐵={𝑥|𝑥2+𝑥−2=0}，所以𝐴={−2,2}，𝐵={−2,1}，所以𝐴∪𝐵={−2,1,2}，因为全集𝑈={−2,−1,0,1,2}，所以∁𝑈(𝐴∪𝐵)={−1,0}．故本题选C．2.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，属于较易题．利用复数的除法运算求解𝑧，根据共轭复数的概念即可求解．【解答】解：因为(2+2𝑖)𝑧=4，则𝑧=42+2𝑖=21+𝑖=2(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=1−𝑖，故𝑧=1+𝑖．故本题选A．3.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查向量的数量积的概念及其运算，以及向量的数量积与向量的垂直关系，属于较易题．利用向量垂直的判断得𝑎⃗·𝑏⃗⃗=0，再利用向量的数量积运算即可.【解答】解：∵𝑎⃗，𝑏⃗⃗是单位向量，且𝑎→⊥𝑏→，∴|𝑎⃗⃗⃗|=1,|𝑏⃗⃗|=1，𝑎⃗·𝑏⃗⃗=0，则(2𝑎⃗⃗⃗−𝑏⃗⃗)⋅(𝑎⃗⃗⃗+4𝑏⃗⃗)=2𝑎⃗⃗⃗2+7𝑎⃗⃗⃗·𝑏⃗⃗−4𝑏⃗⃗2=−2．故本题选B．4.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查百分位数的求解，属于较易题．将数据从小到大排列，由8×75%=6，所求即为88与92的平均值．【解答】解：8名学生的成绩由小到大排列为63、68、76、77、82、88、92、93，因为8×75%=6，所以这8名学生成绩的75%分位数是88+922=90．故本题选C．5.【答案】𝐷【解析】【分析】本题主要考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于较易题．举反例排除𝐴，𝐵，𝐶，利用作差法判断𝐷．【解答】解：若𝑎=1，𝑏=−1，𝑐=−2，𝑎𝑏=−1𝑎𝑐=−12，故选项A错误;若𝑎=1，𝑏=−2，𝑐=−3，𝑎𝑏=−2𝑏𝑐=6，故选项B错误;若𝑎=1，𝑐=−1，1𝑎=11𝑐=−1，故选项C错误;因为(𝑎𝑏+𝑏𝑐)−(𝑎𝑐+𝑏2)=(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)0，所以𝑎𝑏+𝑏𝑐𝑎𝑐+𝑏2，故选项D正确．故本题选D．6.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查对数函数的单调性与最值，以及复合函数的单调性，属于中档题．原问题等价于函数𝑓(𝑥)存在最小值，则𝑢=𝑥2−𝑎𝑥+𝑎的图象与𝑥轴相离，且函数𝑦=log𝑎𝑢在(0,+∞)上为增函数，从而列出不等式组即可求解．【解答】解：由题知，函数𝑓(𝑥)存在最小值，所以𝑢=𝑥2−𝑎𝑥+𝑎的图象与𝑥轴相离，且函数𝑦=log𝑎𝑢在(0,+∞)上为增函数，所以{𝑎1(−𝑎)2−4𝑎0，解得{𝑎10𝑎4,所以实数𝑎的取值范围是(1,4)．故本题选A．7.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，以及正弦型函数的图象变换，属于基础题．由平移变换写出函数𝑔(𝑥)的表达式，由函数𝑔(𝑥)的对称性求得𝜑，然后计算函数值即可．【解答】解：由题知𝑔(𝑥)=sin [2(𝑥−𝜋6)+𝜑]=sin (2𝑥−𝜋3+𝜑)，∵函数𝑔(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝜋3对称，∴2×𝜋3−𝜋3+𝜑=𝑘𝜋+𝜋2,𝑘∈𝑍，即𝜑=𝜋6+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，又∵0𝜑𝜋，∴𝜑=𝜋6，∴𝑔(𝑥)=sin (2𝑥−𝜋6)，∴𝑔(𝜋6)=sin (2×𝜋6−𝜋6)=12．故本题选D．8.【答案】𝐵【解析】【分析】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线过定点问题，以及直线与圆的位置关系中的最值问题，属于中档题．根据题意可得直线过定点𝑃(3,2)，当弦𝐴𝐵最短时直线𝑙垂直直线𝑃𝑀，即可求得𝑚的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【解答】解：∵直线𝑙:𝑚𝑥+𝑦−3𝑚−2=0过定点𝑃(3,2)，又∵圆𝑀:(𝑥−5)2+(𝑦−4)2=25的圆心点𝑀(5,4)，当弦𝐴𝐵最短时直线𝑙垂直于直线𝑃𝑀，∵𝑘𝑃𝑀=4−25−3=1，∴1·(−𝑚)=−1，解得𝑚=1，此时圆𝑁的方程是(𝑥+2)2+𝑦2=9，圆心点𝑁(−2,0)，∴两圆圆心之间的距离|𝑀𝑁|=√(−2−5)2+(0−4)2=√65，∵√655+3，∴圆𝑀与圆𝑁外离．故本题选B．9.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查等差数列的实际应用，属于中档题．由已知可求得𝑎𝑘=12𝑘−3(𝑘∈𝑁∗)，再利用等差数列的前𝑛项和公式求𝑆10即可．【解答】解：由题意可得4𝑥+1=6𝑦+3，且𝑥，𝑦∈𝑁，所以4(𝑥+1)=6(𝑦+1)，令𝑥+13=𝑦+12=𝑘(𝑘∈𝑁∗)，所以𝑥=3𝑘−1，𝑦=2𝑘−1，所以𝑎𝑘=12𝑘−3，则𝑎1=9，所以数列{𝑎𝑛}是首项为9，公差𝑑=12的等差数列，所以𝑆10=10×9+10×92×12=630．故本题选C．10.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查正弦定理的应用，球的表面积，以及直线与平面所成的角，属于中档题．先求出等边△𝐴𝐵𝐶的外接圆的半径，再由直线𝑂𝐴和