河南省南阳市2022-2023学年高三上学期1月期末数学（文）试题

2022年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（文）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合2230Axxx，2log1Bxx，则AB（）．A．1,3B．,3C．0,2D．0,32．设复数z满足1i3iz，则复数z的虚部是（）．A．－5B．5C．102D．1023．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）．A．13B．16C．66D．6124．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（）．A．14B．13C．12D．345．《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的要逐步退出．为了了解学生对校内开设食品小卖部的意见，某校对100名在校生30天内在该校食品小卖都消费过的天数进行统计，将所得数据按照0,5、5,10、10,15、15,20、20,25、25,30分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论不．正确的是（）．A．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数不低于20的学生比率估计为20%B．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数低于10的学生比率估计为32%C．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的平均值不低于15D．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的中位数介于10至15之间6．xR，yR，条件:121pxy，条件22:2440qxyxy，则条件p是条件q的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinsinsinABbcCba．角A等于（）．A．6B．3C．23D．568．已知函数f（x）满足f（x）＋f（－x）=0，f（－x－1）=f（－x＋1），当0,1x时，25xfx，则4log80f（）．A．55B．455C．5D．559．已知3223fxxaxbxa，该函数在x=－1时有极值0，则a＋b=（）．A．4B．7C．11D，4或1110．已知函数2sin06fxx在0,上单调递增，且有23fxf恒成立，则的值为（）．A．12B．32C．1D．211．已知过坐标原点O的直线l交双曲线22:143xyC的左右两支分别为A，B两点，设双曲线的右焦点为F，若3AFBF，则△ABF的面积为（）．A．3B．33C．6D．6312．已知ln1.5a，13b，cos1.25c，则大小关系正确的为（）．A．abcB．bacC．bcaD．cab二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量4,25a，1,5b，则向量b在向量a方向上的投影是______．14．已知函数sincosfxxx是偶函数，则3sin2cos2sin3cos______．15，过抛物线24yx的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且3AFBF，则直线AB的斜截式方程为______．16．在菱形ABCD中，3A，AB=2，将△ABD沿BD折起，使得AC=3．則得到的四面体ABCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：得分30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100男性人数22436067533015女性人数12234054512010（1）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解总计男性女性总计（2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人组成一个环保宣传队，求抽取的3人恰好是两男一女的概率，附：22nadbcKabcdacbd，其中nabcd．临界值表：20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（本题满分12分）已知数列na是各项均为正数．．的等差数列，nS是其前n项和，且122nnnaaS．（1）求数列na的通项公式；（2）若89nnnba，求数列nb的最大项．19，（本题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，∠ABC=∠BAD=2，PB⊥底面ABCD，PB=AB=AD=12BC=1，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：BCl∥；（2）证明：l平面PAB；（3）求点B到平面PCD的距离．20．（本题满分12分）已知椭圆2222:1xyCab（ab0），离心率为12，其左右焦点分别为1F，2F，P为椭圆上一个动点，且1PF的最小值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），若122FMFN，求直线MN的方程．21．（本题满分12分）已知函数2lnfxaxxax．（aR）（1）当a=1时，求证：0fx；（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cossinxy（为参数），（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C的极坐标方程；（2）若点A，B为曲线C上的两个点OA⊥OB，求证：2211OAOB为定值．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知存在0xR，使得0024xaxb，a，bR．（1）求a＋2b的取值范围；（2）求22ab的最小值．2022年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（文）参考答案一、1—5ACBAC6—10BBDCA11—12BA12．11cos1.25sin1.25sin0.32sin233cbln1.5a，10.51.5131.51.5b，令lnfxx，111xgxxx，易证fxgx（当且仅当x=1时等号成立）∴1.51.5fgx，即ab∴abc二、13．－114．1515．33yx或33yx16．283三、17．解：（1）由题意得列联表如下：不太了解比较了解总计男性125165290女性75135210总计200300500计算得22500125135165752.771200300290210K因为2.7712.706，所以有90%的把握认为“居民对垃级分类的了解程度”与“性别”有关；（2）由题意可知，抽到的女性有305275人，抽到的男性有455375人，记抽到的男性为a，b，c，抽到的女性为d，e，则基本事件分别为（a，c，d）、（a，b，d），（a，b，e），（a，c，d）（a，c，e），（a，d，e）（b，c，d），（b，c，e）、（b，d，e）、（c，d，e），共10种，抽取的3人恰好是两男一女共有6种，所以抽取的3人恰好是两男一女的概率是35．18．解：（1）当n=1时，1211122aaSa，解得：12a或11a，因为0na，故12a．方法一：因为1222nnnnaanaS，所以121222nnnaaa，又0na，即可得1nan．方二：当n=2时，23221222aaSa，易得：23a．因为数列na是等差数列，故1nan．（2）由（1）知，819nnbn，故11829nnbn．∵18799nnnnbb，当n7时，1nnbb；当n=7时，1nnbb；当n7时，1nnbb；故数列nb的最大项为878789bb．19，证明：（1）由题意可知BCAD∥，BC平面PAD，AD面PAD，故，BC∥平面PAD，又∵BC面PBC且面PBC面PAD=l，∴BCl∥．（2）因为PB⊥底面ABCD，所以PB⊥BC．又底面ABCD为直角梯形，且2ABCBAD，所以AB⊥BC．且PBAB，∴BC⊥面PAB，又BCl∥，∴l⊥面PAB．（3）易求得，2BD，3PD，2DC，5PC．因为222PCPDDC，△PDC所以为直角三角形．设B到平面PCD的距离为h，因为BPCDPBCDVV，所以1133PCDBCDhSPBS△△，故可得，63h．20．解：（1）由题意知：12ca，即a=2c且a－c=1，可得：a=2，3b，c=1．椭圆C：的方程为：22143xy．（2）方法一：不妨设直线MN交x轴于Q点，由122FMFN，易得，122FQFQ，故3,0Q．设直线MN的方程为x=my＋3，11,Mxy，22,Nxy，显然，10y，20y．由223143xmyxy得，223418150mymy，∴1221834myym①1221534yym②又∵122FMFN，得122yy③，由①②③得，253m．所以，直线MN的方程为：2533xy，即35951010yx．方法二：延长1FM交椭圆于点P，根据椭圆的对称性可知，122FMFN，得112FMPF．设11,Mxy，22,yPx，22,yNx．显然，10y．设直线PM的方程为x=my－1，联立221143xmyxy得，2234690mymy，∴122634myym①122934yym②又∵112FMPF，得122yy③由①②③得，253m．故12358yy，则1212524xxmyy，因此，直线MN的斜率121212123510yyyykxxxx．不妨设直线MN交x轴于Q点，由122FMFN，易得，122FQFQ，故3,0Q，所以，直线MN的方程为：35951010yx．21．解：（1）221112121xxxxfxxxxx，故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在1,上是单调减少的，所以max10fxf，即0fx．（2）当a=0时，2fxx，不存在零点，当a≠0，由f（x）=0得，21lnxxax，0,x．设2lnxxgxx，则312lnxxgxx，令12lnhxxx，易知h（x）在0,上是单调减少的，且h（1）=0．故g（x）在（0，1）上是单调增加的，在1,上是单调减少的．由于211101egee，g（1）=1，且当x1时，g（x）0，故