万有引力与航天专题复习

1专题：万有引力与航天1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与成正比，与它们之间成反比．2．公式：F＝，其中G＝N·m2/kg2，叫引力常量．3．适用条件：公式适用于间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到间的距离．【例1】(2009·浙江高考)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（）A．太阳引力远大于月球引力B．太阳引力与月球引力相差不大C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异宇宙速度数值(km/s)意义第一宇宙速度7.9卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）．若7.9km/s≤v11.2km/s，物体绕运行(环绕速度)gRRGMv1第二宇宙速度11.2物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2km/s≤v16.7km/s，物体绕运行(脱离速度)gRRGMvv22212第三宇宙速度16.7物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v≥16.7km/s，物体将脱离在宇宙空间运行(逃逸速度)【例2】某星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的12，在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是多少？1．轨道平面一定：轨道平面与共面．2．周期一定：与周期相同，即T＝24h.3．角速度一定：与的角速度相同．4．高度一定：由GMm(R＋h)2＝m4π2T2(R＋h)得同步卫星离地面的高度h＝3GMT24π2－R.≈3.56×107m5．速率一定：v＝GMR＋h6.向心加速度大小一定hRTvan22【例3】据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（）A．运行速度大于7.9km/sB．离地面高度一定，相对地面静止C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等2万有引力定律应用的基本方法：(1)把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供．“万能”连等式：GMmr2＝man=mv2r＝mω2r＝m(2πT)2r＝m(2πf)2r（2）不考虑中心天体的自转。黄金代换式：mgRGMm2（表面），/2mghRGMm（h高处）考向一：天体的质量M、密度ρ的估算（1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由GMmr2＝m(2πT)2r，可得天体质量为：M＝4π2r3GT2.该中心天体密度为：ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3（R为中心天体的半径）．当卫星沿中心天体表面运行时，r＝R，则ρ＝3πGT2.（2）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于GMmR2＝mg，故天体质量M＝gR2G，天体密度ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.【例4】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为（）A．1.8×103kg/m3B．5.6×103kg/m3C．1.1×104kg/m3D．2.9×104kg/m3考向二：卫星的运行和变轨问题1．人造卫星的动力学特征万有引力提供向心力．即GMmr2ma＝mv2r＝mrω2＝m(2πT)2rma2．人造卫星的运动学特征（1）向心加速度a：由marMmG2得2rGMa，随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。（2）由线速度v：由GMmr2＝mv2r得v＝GMr，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。（3）角速度ω：由GMmr2＝mω2r得ω＝GMr3，随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小。（4）周期T：由GMmr2＝m4π2T2r得T＝2πr3GM，随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。【例5】如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是（）A．a、b的线速度大小之比是2∶1B．a、b的周期之比是1∶22C．a、b的角速度大小之比是36∶4D．a、b的向心加速度大小之比是9∶43．卫星的环绕速度和发射速度不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度rGMv，其大小随半径的增大而减3轨道Ⅰ地球轨道ⅡQP小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即v发射＞v环绕，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．4．人造地球卫星的超重和失重(1)人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动．这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态．(2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态．在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生．因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行（如：天平、水银气压计等）5.卫星的变轨卫星做匀速圆周运动时满足：GMmr2＝ma=mv2r＝mrω2＝mr(2πT)2当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行．(1)当v增大时，所需向心力mv2r增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝GMr知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．(2)当卫星的速度突然减小时，向心力mv2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝GMr知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)【例6】如图4－4－2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是()A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的cD．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大【例7】某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2(r2r1)，用Ek1、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上的运行周期，则()A．Ek2Ek1，T2T1B．Ek2Ek1，T2T1C．Ek2Ek1，T2T1D．Ek2Ek1，T2T1【例8】人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径R=6370km，g=9.8m/s2）（1）飞船在椭圆轨道1上运行，Q为近地点，P为远地点，当飞船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（）A．飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力B．飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力C．飞船在轨道Ⅰ上P点的速度小于轨道Ⅱ上P的速度D、飞船在轨道Ⅰ上P点的加速度小于轨道Ⅱ上P的加速度（2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是（）A．从较低轨道上加速B.从较高轨道上加速C.从同一轨道上加速D.从任意轨道上加速4考向三：“双星模型”问题在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．如图（1）双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力（2）具有相同的周期T和角速度（3）轨道半径和质量成反比LmmmrLmmmr21122121,（4）双星总质量2324MGTL总（其中L为双星间距，T为周期）【例9】如图4－4－6，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G.(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)考向四：环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题1、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到再次相距最近所需最短时间：据2t-小大则小大2t，而T2则小大小大TTTTt2、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线）所需最短时间：据t-小大则小大t，而T2则小大小大TTTTt2【例10】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：(1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？(2)若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？考向五：天体的不瓦解问题在赤道处的物体最容易脱离天体:RmFRMmGN22自（当FN=0将瓦解）m1m2r1r2Oω5而,343RM自自2T.故不瓦解的条件是23自GT【例10】中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝130s．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？(计算时星体可视为均匀球体，万有引力常量G＝6.67×10－11m3/kg·s2)考向六：赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较角速度周期线速度向心加速度向心力赤道上自1自TT1Rv11Ra21111maF近地卫星上32RGMGMRT322412宇vRGMg22RGMamgmaF22同步卫星上自333h)(RGM自TT3GMRT323)h(4)(33hRvhRGM3)(233hRa23)(hRGMa33maF同物比较231231TTT1231宇vvvvgaaa231mgFFF231【例11】如图，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则()A．v1v2v3B．v1v2v3C．a1a2a3D．a1a3a2考向七：万有引力与抛体运动的综合（万有引力与牛顿运动定律的综合）关键是：重力加速度g（1）由黄金代换得g（2）由抛体运动或牛顿运动定律得g我国在2010年实现探月计划——“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注．(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径．(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，万有引力常量为G，