三元一次方程及其解法

行成于思，学止于行！Nigel-9586175261三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3.三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．例题解析一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组③②①yxzyxzyx4225212分析：方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。解法1：代入法，消x.把③分别代入①、②得⑤④2256125zyzy解得2,2.yz把y=2代入③，得x=8.∴8,2,2.xyz是原方程组的解.根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。解法2：消z.①×5得5x+5y+5z=60④④-②得4x+3y=38⑤由③、⑤得⑤③38344yxyx行成于思，学止于行！Nigel-9586175262解得8,2.xy把x=8,y=2代入①得z=2.∴8,2,2.xyz是原方程组的解.根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组③②①172162152zyxzyxzyx分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由①+②+③得4x+4y+4z=48，即x+y+z=12.④①-④得x=3，②-④得y=4，③-④得z=5，∴3,4,5.xyz是原方程组的解.典型例题举例：解方程组20,19,21.xyyzxz①②③解：由①+②+③得2(x+y+z)=60，即x+y+z=30.④④-①得z=10，④-②得y=11，④-③得x=9，行成于思，学止于行！Nigel-9586175263∴9,11,10.xyz是原方程组的解.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型三：轮换方程组，求和作差型.例3：解方程组②①21327:2:1::zyxzyx分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x；由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即2,7,2321.yxzxxyz①②③，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。解法1：由①得y=2x，z=7x，并代入②，得x=1.把x=1，代入y=2x，得y=2；把x=1，代入z=7x，得z=7.∴1,2,7.xyz是原方程组的解.分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1.把k=1，代入x=k，得x=1；把k=1，代入y=2k，得y=2；把k=1，代入z=7k，得z=7.∴1,2,7.xyz是原方程组的解.行成于思，学止于行！Nigel-9586175264典型例题举例：解方程组③②①4:5:2:3:111zyxyzyx分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x=23y；由③得z=45y.从而利用代入法求解。解法1：略.分析2：受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。解法2：由②、③得x:y:z=10:15:12.设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3.把k=3，代入x=10k，得x=30；把k=3，代入y=15k，得y=45；把k=3，代入z=12k，得z=36.∴30,45,36.xyz是原方程组的解.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型.二、三元一次方程组之一般型例4：解方程组34,6,2312.xyzxyzxyz①②③分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：（一）消元的选择行成于思，学止于行！Nigel-95861752651.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。（二）方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。解：③②①1232643zyxzyxzyx（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）①+③得5x+2y=16，④(体现第一次使用在①③后做记号√)②+③得3x+4y=18，⑤(体现第二次使用在②③后做不同记号△)由④、⑤得5216,3418.xyxy④⑤解得2,3.xy把x=2，y=3代人②，得z=1.∴2,3,1.xyz是原方程组的解.典型例题举例：解方程组2439,32511,56713.xyzxyzxyz①②③分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。解：②×2得6x－4y+10z=22，④2x+4y+3z=9，①①+④得8x+13z=31.⑤②×3得9x－6y+15z=33，⑥5x－6y+7z=13，③⑥－③得4x+8z=20.x+2z=5.⑦行成于思，学止于行！Nigel-9586175266由⑤、⑦得81331,25.xzxz⑤⑦解得1,3.xz把x=-1，z=3代人①，得21y.∴1,1,23.xyz是原方程组的解.在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。课堂练习1.解下列方程组（1）2000xxyyz（2）6810xyyzxz2．解下列方程组（1）63zxyxyzxy（2）17221343xyzxyzxyz行成于思，学止于行！Nigel-95861752673．有这样一个数学题：在等式2yaxbxc中，当x=1时，y=1；当y=3时，y=9，当x=5时，y=5.（1）请你列出关于a,b,c的方程组.这是一个三元三次方程组吗？（2）你能求出a,b,c的值吗？4.解方程组4422825xyzxyzxyz5.解方程组3248234855622xyzxyzxyz6.解方程组21231438xyzxyzxyz7.解方程组345abbcac，行成于思，学止于行！Nigel-9586175268行成于思，学止于行！Nigel-9586175269行成于思，学止于行！Nigel-95861752610三元一次方程组的实际应用EG01:某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或乙20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？解：设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人.根据题意得x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12解得x=12,y=24,z=2424×12/9=32答：安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人，24人，24人，共有32套.EG02:甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2（二分之一），求这三个数。解:设甲是x，乙是y，丙是z则x+y+z=35(1)甲数的2倍比乙数大52x-y=5(2)行成于思，学止于行！Nigel-95861752611乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2y/3=z/2(3)由(2)和(3)得到y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3代入(1)x+2x-5+4x/3-10/3=3513x/3=130/3x=10y=2x-2=15z=2y/3=10所以甲是10，乙是15，丙是10EX:1.有甲乙丙三种货物，若购物甲种3件，乙种7件，丙1件需要31.5元，如果购买甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若购甲乙丙各一件，需要10.5元。问甲乙丙每件各多少元？2.汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里？去时上下坡路各有多少公里？3.某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%。求三个年级各有多少人？AW:1式子：3x+7y+z=31.54x+10y+z=42x+y+z=10.5答案：？？？这题有问题，多解的（只要符合x+3y=10.5)就行，真不知楼上怎么算出来的。。2：去时上坡x平路y下坡zx+y+z=142x/28+y/30+z/35=4.5z/28+y/30+x/35=4.7答案：x=42y=30z=703:初一：x初二：y初三：zx+y+z=651y=1.1zx=1.05y答案：x=231y=220z=200训练集中营1。现有1角，5角，1元硬币各10枚．从中取出15枚，共值7行成于思，学止于行！Nigel-95861752612元，1角，5角，1元各取几枚？2。甲地到乙地全称是3.3KM，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时行3KM，平路每小时行4KM，下坡每小时行5KM，那么，从甲地到乙地需行51分，从乙地到甲地需行53.4分，求从甲地到乙地时的上坡。平路。下坡的路程各是多少？3。水费价格：不超过6立方米部分，每立方米2元。超过6立方米至10立方米部分，每立方米4元。超过10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和四月共用水15立方米，交水费44元，（四月用水量多于三月用水量），求三月和四月用水量？如果某居民某月用水量是13.5立方米，则他需要交水费多少元？4。某足球联赛一个赛季共进行26场比赛（即每队均赛26场），其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分。某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分。这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？5。学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个，求三种球各有多少6。一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙