人教版高一数学函数

用心爱心专心121号编辑1高一数学函数一、知识结构二、重点难点重点：有关映射与函数的概念，要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域；幂函数的图象和性质；单调性的概念；反函数的概念；要掌握函数的图象和性质；对数运算与指数运算的关系，对数式与指数式的互化；对数性质和运算法则；难点：映射的概念；幂函数的应用；用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间；反函数的求法；利用指数函数的性质，结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题；对数概念与各名称的意义的理解；注意法则应用的条件和推导。三、知识点解析1、函数：（1）定义：1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量,xy，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有惟一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记为()yfx；2）近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。；上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同，函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射，其特殊性在于集合A、B都是非空数集。自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域。这里应该注意的是，值域C并不一定等于集合B，而只能说C是B的一个子集；（2）三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射。2、函数的单调性：用心爱心专心121号编辑2（1）定义：对于给定区间上的函数()fx，1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说()fx在这个区间上是增函数；2）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值12,xx，当12xx，都有12()()fxfx，那么就说()fx在这个区间上是减函数；（2）证明函数单调性的方法：1）用定义；2）利用已知函数的单调性；3）利用函数的图像；4）依据符合函数单调性有关结论；5）1212()()0()fxfxfxxx为增函数，1212()()0()fxfxfxxx为减函数；（3）函数的周期性：对于函数()fx，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，()()fxTfx都成立，那么就把函数()yfx叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期；对于一个周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期：1）式子()()fxTfx对定义域中的每一个值都成立，即对定义域中的任何x，式子都成立，而不能是“一个x”或“某些x”；2）一个函数是周期函数，它并不一定就有最小正周期，如：()fxa（a是常数)，显然，对任何一个正数T，都有()()()fxTfxxR；这就是说，任何一个正数都是()fx的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数()fxa不存在最小正周期。③设T是()()fxxR的周期，那么(kTkN且0k)也一定是()fx的周期。3、反函数（1）反函数的意义：一般地，式子()yfx表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为B、我们从式子()yfx中解出x，得到式子()xy。如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy就表示x是自变量y的函数，这样的函数()xy，叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，即1()()xyfy，在函数式1()xfy中，y表示自变量，x表示函数。习惯上，一般用x表示自变量，用y表示函数.为此对调函数式1()xfy中的字母,xy，把它改写成用心爱心专心121号编辑31()yfx。1）()yfx与1()yfx具有四性：A、互换性；B、对称性；C、奇偶性；D、单调性；2）()yfx和1()yfx互为反函数，即1[()]()ffxxxB或1[()]()ffxxxA；3）求反函数的步骤：A、解出1()xfy；B、交换,xy，得1()yfx；C、解出反函数的定义域(即原函数值域)；4）互为反函数的两个函数图像关于直线yx对称；（2）反函数存在的条件：并不是所有函数都存在反函数.根据反函数的定义，只有原象具有唯一性的函数，即对任意的12xx，能推断出12()()fxfx成立的函数才具有反函数；（3）反函数与原函数的关系：1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；2）()yfx与1()yfx互为反函数，设()fx的定义域为A，值域为C，则有1[()]()ffxxxC，1[()]()ffxxxA；（4）反函数的求法：可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数，其步骤为：1）由()yfx解出()xy；2）交换,xy，得1()()xfx；3）根据()yfx的值域，写出1()yfx的定义域。4、幂函数、指数函数、对数函数（1）幂、指数、对数式1）同底数幂的运算性质：①(,)mnmnaaamnQ，②()(,)mnmnaamnQ，③()()nnnababnQ；2）根式的运算性质：①()nnaa，②当n是偶数时(0)(||)||(0)nnaaaaaa，当n是奇数时()nnaa；3)分数指数幂与根式的关系规定：①正分数指数幂(0,.,1)nmnmaaamnNm且，②正分数指数幂1(0,.,1)nmnmaamnNma且；4)对数及对数的运算性质：①定义：如果(0baNa且1a)，则数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb，②对数恒等式：logNaaN(a＞0且a≠1，N＞0)，用心爱心专心121号编辑4③对数的性质：（ⅰ）负数和零没有对数，（ⅱ）log10(0,1)aaa，（ⅲ）log1(0,1)aaaa；④对数的运算法则：（ⅰ）()(0,0)MNMNMNaaalogloglog，（ⅱ）MlogNaMNaaloglog，（ⅲ）log()naNnNalog，（ⅳ）1lognaNNnalog；⑤换底公式：logloglogabaNNb（ⅰ）1loglogabba，（ⅱ）12231logloglog1(,2)naaaaaanNn，（ⅲ）loglogmnaanbbm；（2）幂函数1）定义：形如ayx(a是常数)的函数叫幂函数；2)幂函数的图像见图：3）幂函数的性质：①都过点(1，1)；②除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数都不过第四象限；③0a时，幂函数图像过(0，0)且在(0，+∞)上是增函数；0a时，幂函数图像不过(0，0)且在(0，+∞)上是减函数；④任何两个幂函数图像最多有三个公共点，除(1，1)，(0，0)，(-1，1)外，其它任何一点都不是两个幂函数的公共点；（3）指数函数1）定义：形如xya(0a且1a)的函数叫指数函数；2）指数函数的图像见图：3）指数函数的性质用心爱心专心121号编辑5①都过(0，1)点；②定义域为R，值域为R；③1a时，在(-∞，+∞)上是增函数；01a时，在(-∞，+∞)上是减函数；④1a时，01001xxxaxa；01a时，00101xxxaxa。（4）对数函数1）定义：形如logayx(0a且1a)的函数叫对数函数；2）对数函数图像见图。对数函数图像和指数函数图像关于直线yx对称(互为反函数)；3）对数函数的性质：①都过(1，0)点；②定义域为R，值域为R；③1a时，在(0，+∞)上是增函数；01a时，在(0，+∞)上是减函数；④1a时，10010xyxy；01a时，10010xyxy。四、例题1、函数例1审查下面四个命题：（ⅰ）()21fxxx是函数；（ⅱ）函数是其定义域到值域的映射；（ⅲ）yx和2yx表示同一函数；（ⅳ）xyx和0yx表示同一函数；其中正确的有[]A、1个B、2个C、3个D、4个解B注高中数学中的函数是通过映射来定义的。例2函数||||xyxx的图像是[]用心爱心专心121号编辑6解D函数||||xyxx可化为1,01,0xxyxx。例3设ak＞0，bc＜0，在同一坐标系中y=ax2+c与y=kx+b的图象应是[]解B由,ak同号排除D；由b，c异号排除A，C。例4已知函数3()()232cxfxxx满足(())ffxx，则c的[]A、3B、-3C、3或-3D、不存在解B223(())(26)92323cxcxffxxxcccxx。对任何3()2xx成立，所以22690cc，即3c。而33232xx，故所求3c。例5函数311yx的定义域是[]A、(,0]B、(,0)(0,1]C、(,1]D、无法确定解B解不等式组10110xx得(,0)(0,1]，此即所求定义域。例6已知函数36,0()5,0xxfxxx，则((1))ff的值[]A、2B、-15C、12D、以上都不对用心爱心专心121号编辑7解A因为10，所以(1)31630f，所以((1))(1)5352fff。注求分段函数的函数值时，首先应清楚自变量的值在定义域的哪一段上。例7如果函数()yfx的定义域是[0,1]，那么函数()(2)(01)fxafxaa的定义域是______。解1[,]22aa0解不等式01(01)021xaaxa，得1(01)122axaaaax，所以所求函数定义域为1[,]22aa。例8已知221()12,[()](0)xgxxfgxxx，则1()2f等于。解15令1()2gx，解得14x。代入221[()]xfgxx得2211()14[()]1512()4fg。例9若1()1xfxx，则满足等式(2)()fxmfx的m的值是______。解-2因为1()1xfxx，所以1()1xfxx。由题设的1(2)13121(2)111xxxxmmxxxx。例10设21[1,](1),()(1)1()2AbbfxxxA。若()fx的值域也为A，则b的值为______。解3函数()fx的对称轴为1x，而(1)1,1fb，故可令()fbb，即21(1)12bb，解得3b，1b舍去。例11已知y是x的函数，22,444(22),ttttttxytR，求函数()yfx的解析式及其定义域。用心爱心专心121号编辑8解22444(22)(22)4(22)242ttttttttyxx。因为tR，所以222222tttt，即2x。所以所求函数为242(2)yxxx；其定义域为[2,)。例12设2()()1axbfxxRx的值域为[1,4]，求,ab的值。解设21axbyx，则20,0yxaxyby。因为xR，所以24()0ayyb，即2204ayby。易知14y是不等式(1)(4)0yy，即2340yy的解。比较系数，得4,3ab。例13求下列函数的值域：（1）224yxx（2）421yxx（3）2541yxx（4）21yxx解（1）因为2(1)33yx，所以值域为{|3}yy。（2）因为221313()12444yx，所以值域为{|1}yy。注此题容易误解为3[,)4。（3）因为2247(2)33xxx