全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全

1/11全等三角形辅助线系列之三与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．典型例题精讲【例1】如图，在ABC中，60BAC，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数．【解析】法一：如图所示，延长AB至E使BEBD，连接ED、EC．由ACABBD知AEAC，而60BAC，则AEC为等边三角形．注意到EADCAD，ADAD，AEAC，故AEDACD≌.从而有DEDC，DECDCE，故2BEDBDEDCEDECDEC.所以20DECDCE，602080ABCBECBCE.法二：在AC上取点E，使得AEAB，则由题意可知CEBD.在ABD和AED中，ABAE，BADEAD，ADAD，则ABDAED≌，从而BDDE，进而有DECE，ECDEDC，AEDECDEDC2ECD.注意到ABDAED，则：1318012022ABCACBABCABCABCBAC，故80ABC.【答案】见解析．2/11【例2】已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．【解析】BECDBC，理由是：在BC上截取BFBE，连结OF，利用SAS证得BEO≌BFO，∴12，∵60A，∴1901202BOCA，∴120DOE，∴180ADOE，∴180AEOADO，∴13180，∵24180，∴12，∴34，利用AAS证得CDO≌CFO，∴CDCF，∴BCBFCFBECD．【答案】见解析．【例3】如图，已知在△ABC内，60BAC，40C，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQAQABBP．DOECBA4321FDOECBA3/11【解析】延长AB至D，使BDBP，连DP．在等腰△BPD中，可得40BDP，从而40BDPACP，△ADP≌△ACP（ASA），故ADAC又40QBCQCB，故BQQC，BDBP．从而BQAQABBP．【答案】见解析．【例4】如图，在四边形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分∠ABC，求证：180AC．【解析】延长BA至F，使BFBC，连FD△BDF≌△BDC（SAS），故DFBDCB，FDDC又ADCD，故在等腰△BFD中，DFBDAF故有180BADBCD【答案】见解析．QPCBACDBA4/11【例5】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BDDC，120BDC，60MDN，求证：MNMBNC．【解析】延长NC至E，使得CEMB∵BDC是等腰三角形，且120BDC，∴30DBCDCB∵ABC是等边三角形．∴60ABCACBBAC∴90MBDABCDBCACBDCBDCNDCE在DBM和DCE中，BDDC，MBCE，∴DBMDCE≌.∴DEDM,12.又∵160NDC，∴2+60NDCEND.在MDN与EDN中，NDND，60MDNEDN，DEDM∴MNDEND≌∴MNENNCMB【答案】见解析．【例6】如图在△ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证：ABACPBPC．21EABCDMNNMDCBA21EABCDMNNMDCBAC21PDBA5/11【解析】延长AC至F，使AFAB，连PD△ABP≌△AFP（SAS）故BPPF由三角形性质知PBPCPFPCCFAFACABAC【答案】见解析．【例7】如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：BCABDC．【解析】在BC上截取BFAB，连接EF∵BE平分∠ABC，∴ABEFBE又∵BEBE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴ABFE．∵AB//CD，∴180AD∵180BFECFE，∴DCFE又∵DCEFCE，CE平分∠BCD，CECE∴△DCE≌△FCE（AAS），∴CDCF∴BCBFCFABCD【答案】见解析．DECBA6/11【例8】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？【解析】猜测DMMN.在AD上截取AGAM，∴DGMB，∴45AGM∠∴135DGMMBN∠∠，∴ADMNMB∠∠，∴DGMMBN≌，∴DMMN．【答案】见解析．【例9】已知：如图，ABCD是正方形，FADFAE，求证：BEDFAE．【解析】延长CB至M，使得BMDF，连接AM.∵ABAD，ADCD⊥，ABBM⊥，BMDF∴ABMADF≌∴AFDAMB，DAFBAM∵ABCD∥∴AFDBAFEAFBAEBAEBAMEAM∴AMBEAM，AEEMBEBMBEDF【答案】见解析．【例10】如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且2BAEDAM．求证：AEBCCE．NCDEBMANCDEBMAFEDCBAMFEDCBAMEDCBA7/11【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等．我们用(1)法来证明．【答案】延长AB到F，使BFCE，则由正方形性质知AFABBFBCCE下面我们利用全等三角形来证明AEAF．为此，连接EF交边BC于G．由于对顶角BGFCGE，所以RtΔBGFCGEAAS≌，从而12BGGCBCFGEG，，BGDM于是RtΔRtΔABGADMSAS≌，所以12BAGDAMBAEEAG，AG是EAF的平分线【例11】五边形ABCDE中，ABAE，BCDECD，180ABCAED，求证：AD平分∠CDE．【解析】延长DE至F，使得EFBC，连接AC.∵180ABCAED，180AEFAED，∴ABCAEF∵ABAE，BCEF，∴△ABC≌△AEF．∴EFBC，ACAF∵BCDECD，∴CDDEEFDF∴△ADC≌△ADF，∴ADCADF即AD平分∠CDE.【答案】见解析．HGFMEDCBACEDBA8/11【例12】若P为ABC所在平面上一点，且120APBBPCCPA，则点P叫做ABC的费马点．（1）若点P为锐角ABC的费马点，且60ABC，34PAPC，，则PB的值为_____；（2）如图，在锐角ABC外侧作等边ACB′，连结BB′．求证：BB′过ABC的费马点P，且BBPAPBPC′．【解析】（1）23（2）证明：在BB′上取点P，使120BPC，连结AP，再在PB′上截取PEPC，连结CE．∵120BPC，∴60EPC，∴PCE为正三角形，∴PCCE，60PCE，120CEB′，∵ACB′为正三角形，∴ACBC′，60ACB′，∴60PCAACEACEECB′，∴PCAECB′，∴ACPBCE≌′，∴120APCBCE′，PAEB′，∴120APBAPCBPC，∴P为ABC的费马点，∴BB′过ABC的费马点，且BBEBPBPEPAPBPC′′．【答案】见解析．ABDEFCB'CBAPEPABCB'9/11课后复习【作业1】已知，AD平分∠BAC，ACABBD，求证：2BC．【解析】延长AB至点E，使AEAC，连接DE∵AD平分∠BAC，∴EADCAD∵AEAC，ADAD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴EC∵ACABBD，∴AEABBD∵AEABBE，∴BDBE，∴BDEE∵ABCEBDE，∴2ABCE，∴2ABCC．【答案】见解析．【作业2】如图，△ABC中，2ABAC，AD平分∠BAC，且ADBD，求证：CD⊥AC．DCBAECBADCDBA10/11【解析】在AB上取中点F，连接FD．则△ADB是等腰三角形，F是底AB的中点，由三线合一知DF⊥AB，故90AFD△ADF≌△ADC（SAS）90ACDAFD，即：CD⊥AC【答案】见解析．【作业3】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．【解析】如图所示，延长AC到E使CEBM.在BDM与CDE中，因为BDCD，90MBDECD，BMCE，所以BDMCDE≌，故MDED.因为120BDC，60MDN，所以60BDMNDC.又因为BDMCDE，所以60MDNEDN.在MND与END中，DNDN，60MDNEDN，DMDE，所以MNDEND≌，则NEMN，所以AMN的周长为2.【答案】见解析．11/11【作业4】已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，180BD，求证：AEADBE．【解析】在AE上取F，使EFEB，连接CF∵CE⊥AB∴90CEBCEF∵EBEF，CECE，∴△CEB≌△CEF∴BCFE∵180BD＋，180CFECFA∴DCFA∵AC平分∠BAD∴DACFAC∵ACAC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴ADAF∴AEAFFEADBE【答案】见解析．EDCBA