八上培优5-半角模型

-1-八上培优5半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2套的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第34页1~4题1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF．3.如图，∠A=∠B=90°,CA=CB=4,∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3,BF=2,求五边形ABCDE的面积.-2-ACBFEACBFED4．如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系．3.如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．-3-勤学早第40页试题1.（1）如图，已知AB=AC,∠BAC=90°，∠MAN=45°,过点C作NC⊥AC交AN于点N，过点B作BM垂直AB交AM于点M，当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN=MN;BACMNBACMNGBACMNG证明:延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG=,∠NAC.L∵∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=45°=L∠MAN,证△AMN≌△AMG(SAS),'∴MN=MG=BM+BG=BM十NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)(2)如图,在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立?请说明理由.BACNMBACNMF解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.-4-基本模型二120°套60°2.如图，△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点，∠DCE=60°,∠DAE=120°，求证:DE=BEABCDEABCDFE证明:(补短法)延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF≌△CAD，△CED≌△CEF,.DE-AD=EF-BF=BE.3.如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°，点E为AB上一点，∠DCE=∠DAE=60°，求证:AD+DE=BE.CBADECBADEF证明:(截长法)在BE上截取BF=AD,连接CF，易证△CBF≌△CAD，△CED≌ACEF,DE=EF,AD+DE=BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页例4如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角，∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N,连结MN,试求△AMN的周长.321ABCDPMN-5-分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM十∠CDN=60°，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面,△AMN的周长AM+AN+MN=AB+AC+MN-BM-CN.猜想MN=BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优68页例5如图，点A、B(2,0)在x轴上原点两侧,C在y轴正半轴上,OC平分∠ACB.(1)求A点坐标;(2)如图1,AQ在∠CAB内部，P是AQ上一点，满足∠ACB=∠AQB,AP=BQ.试判断△CPQ的形状，并予以证明;(3)如图2.BD⊥BC交y轴负半轴于D.∠BDO=60°,F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足∠CFD+∠E=180°.当F在AC上移动时，结论:①CE+CF值不变;②CE-CF值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.yx21ODCABP3yx21OGCABDFE分析:(1)由∠A0C≌△BOC得AO=BO=2,A(-2,0).(2)由△ACP≌△BCQ得CP=CQ.(3)由BD⊥BC,∠BDO=60°，可证得等边△ABC.由角平分线和DB_⊥BC的条件,运用对称性知DA⊥AC,连结DA,加上条件∠CFD+∠E=180°，可证得△ADF△BDE,于是CE+CF=2AC=2AB=8.-6-基本模型三2°套°4.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=12∠BAD,求证:EF=BE+DF;(2)如图2,在(1)的条件下,若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，则EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE-DFABCDGEFABCDEFM解:(1)EF=BE+DF,延长FD到点G，使DG=BE,连接AG,证△ABE≌△ADG(SAS),..∴AE=AG,∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠'EAF=∠GAF,证△AEF≌△GAF(SAS),.∴EF=FG,∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;(2)EF=BEDF.-7-外地试题：4．探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，求证：EF=BE+DF．应用：如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，∠B+∠D=90°，∠EAF=12∠BAD，若EF=3，BE=2，则DF=．5．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BE+DF．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADG=∠B=90°，∴∠FDG=∠ADG+∠ADC=180°，则点F、D、G共线．根据，易证△AFG≌，从而得EF=BE+DF；（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，但当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF，请给出证明；（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．-8-7．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且AE=AF，∠EAF=12∠BAD．现有三种添加辅助线的方式：①延长EB至G，使BG=BE，连接AG；②延长FD至G，使DG=BE，连接AG；③过点A作AG⊥EF，垂足为G；选择其中一种方法添加辅助线，求证：EF=BE+FD；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，若∠B+∠D=180°，∠EAF=12∠BAD，证明（1）中结论是否还成立？（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．8．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF=BE+FD．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．-9-半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子？1．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B点坐标；（2）如图2，若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连接OD，求∠AOD的度数；（3）如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由．解：（1）如图所示，作AE⊥OB于E，∵A（4，4），∴OE=4，∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，∴OE=EB=4，∴OB=8，∴B（8，0）；（2）如图所示，作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，又∵∠DFC=∠AEC=90°，∴△DFC≌△CEA（AAS），∴EC=DF=4，FC=AE，∵A（4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，∴OF=CE，∴OF=DF，∴∠DOF=45°，∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；-10-（3）AM=FM+OF成立，理由：如图所示，在AM上截取AN=OF，连EN．∵A（4，4），∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，∴△EAN≌△EOF（SAS），∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，又∵△EGH为等腰直角三角形，∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，∴∠AEN+∠OEM=45°又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM，又∵EM=EM，∴△NEM≌△FEM（SAS），∴MN=MF，∴AM-MF=AM-MN=AN，∴AM-MF=OF，即AM=FM+OF；【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，A（a，0）B（0，b），且（a-b）2+|b-4|=0（1）求A、B两点坐标；（2）C为线段AB上一点，C点的横坐标是3，P是y轴正半轴上一点，且满足∠OCP=45°，求P点坐标；（3）在（2）的条件下，过B作BD⊥OC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠CEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．（1）解：∵（a-b）2+|b-4|=0，∴a-b=0，b-4=0，-11-∴a=4，b=4，∴A（4，0），B（0，4）；（2）3．如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足|a-2|+（b-2）2=0，（1）求A点坐标；（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图2，过A作AE⊥x轴于E，点F、G分别为线段OE、AE上两个动点，满足∠FBG=45°，试探究OFAGFG的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，请说明理由．-12-2017-2018江汉期中如图点P为△ABC的外角∠BCD的平分线上一点，PA=PB．（1）求证：∠PAC=∠PB