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1第三单元比和比的应用知识要点（一）、比的意义1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如15：10=15÷10=23∶∶∶∶前项比号后项比值（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系（同类量的比）。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量（费同类量的比），例：路程÷速度=时间。4、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。6、比和除法、分数的联系：比前项比号“：”后项比值除法被除数除号“÷”除数商分数分子分数线“—”分母分数值7、比和除法、分数的区别：（1）意义不同：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。2（2）表示方法不同：作为一种运算，除法算式不能用分数表示；比可以用分数表示；但分数不一定表示两个量的比。（3）结果表达不同：除法一般要求出商；比只有求比值时才通过计算求出商；而分数本身就是一个数值，无需计算。8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。（1）比的后项相当于除法算式中的除数，因为除数不能为0，所以比的后项也不能为0.（2）比的后项相当于分数中的分母，因为分母不能为0，所以比的后项也不能为0.特殊情况：体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。（二）、比的基本性质1、根据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。4.化简比：①两个整数的比：用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。（1）②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比，再化简。依据比的基本性质：3（2）用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。如：15∶10=15÷10=23=3∶2（三）比的应用按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。如：已知两个量为A、B，A的B比为:ab，则总份数可以看做单位“1”=a+b，A是B的ba，B是A的ab，A是单位“1”的（），B是单位“1”的（）。解题方法：（1）把比看作分得的份数，先求出每份是多少再解答：先求出总份数，再求出每份是多少，最后求出各部分对应的具体数量。（2）转化成分书问题来解决：先根据比求出总份数，再求出各部分占总量的几分之几，最后求出各部分的数量。基础练习：1．鸡的只数与鸭的只数比是4：7。（1）鸡的只数是鸭的只数的。（2）鸭的只数是鸡鸭总数的。（3）鸭的只数是鸡的只数的（）倍。2.故事书的本数是连环画的125。（1）连环画的本数与故事书本数的比是。（2）故事书的本数与这两种书的总本数的比是。3.小红看一本书，已经看的页数与未看的页数的比是5：3。4（1）已看的页数占未看页数的。（2）未看页数占已看页数的。（3）已看页数占全书页数的。（4）未看的页数占全书页数的。例1：一种混泥土搅拌的水泥、沙子和石子的比是2：3：5。其中水泥有32吨，还需要沙子和石子各是多少吨？（题型1：已知单位“1”中各部分的比和其中的一个分量，求另外几个分量）解析：这里把混泥土看作单位“1”，其中水泥占混泥土的（），沙子占混泥土的（），石子占混泥土的（），根据水泥有2吨和对应单位“1”的分率是（），根据“已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量”可以先求出这种混泥土的总数量，再求出沙子和石子的数量。例2：水泥、沙子和石子的比是2：3：5。要搅拌20吨这样的混凝土，需要水泥、沙子和石子各是多少吨？（题型2：已知单位“1”中各部分的比和总数量的具体数量，分别求出几个分量）解析：这里把混泥土看作单位“1”，其中水泥占混泥土的（），沙子占混泥土的（），石子占混泥土的（），根据总数量混泥土单位“1”有20吨，可以求出水泥、沙子和石子的数量。例3：一个直角三角形的两个锐角度数的比是2：1，这两个锐角分别是多少度？（题型3：已知两个量的比和他们的和，求出几个分量）解析：关键要知道直角三角形的两个锐角的和是（）。这里把三角形的两个锐角的和看作单位“1”，根据两个锐角度数的比是2：1可分别找出其中一个锐角占单位“1”的（），另一个锐角占单位5“1”的（），再求出这两个锐角分别是多少度。例4：有两堆货物。甲堆比乙堆多18吨。甲堆与乙堆重量的比是9：5，两堆货物各有多少吨？（题型4：已知两个量的比和它们的差，求这两个量分别是多少）解析：可以把两堆货物的总重量看作单位“1”，甲堆货物占单位“1”的（），乙堆货物占单位“1”的（），两堆货物的差量18吨占单位“1”的分率是（），根据“已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量”，再分别求出这两个分量。(四)能力拓展1.学校四、五、六年级共140人参加旅行活动。四、五年级的人数比是2：3，五、六年级的人数比是4：5，问四、五、六年级各有多少人参加活动？解析：第一步：第二步：第三部：四、五、六三个年级的人数比为：45:1:32。解：设五年级的人数为单位1，则：四年级人数是五年级人数的23，六年级人数是五年级人数的54。所以有：140÷（23+1+54）=48（人）48×23=32（人）648×54=60（人）答：四、五、六年级各有32人、48人、60人参加了旅行活动。小结：这是一道连比的实际问题，要根据其中一个中间量（五年级人数），一般都把中间量看做单位“1”，来找出三个年级的人数比。举一反三长方体棱长之和是88厘米，它的长和宽的比是2：1，宽与高的比是3：2。这个长方体的表面积是多少平方厘米？2.同学们到达森林公园，平均分成3组准备给森林公园植树。第一、二、三小组平均植1棵树的时间分别是2分钟、3分钟、4分钟。现在有130棵树要植，如果规定三个小组要用同样多的时间完成任务，每组各应植多少棵树？解析：各小组在相同时间（取1分钟）内各植（）棵树；则三个小组的工作效率比为（：：）；最后按照比例分配。解：有题意可知；三个小组的工作效率比是12：13：14，化简得：工作效率比为6：4：3；则130÷（6+4+3）=10（棵）一组：6×10=60（棵）二组：4×10=40（棵）三组：3×10=30（棵）答：每组各应植树60棵、40棵、30棵。举一反三：加工一个零件，甲、乙、丙所用时间分别是6分钟、7分钟、8分钟，现在有365个零件需要加工，如果规定3人用同样多的时间完成各自的任务，各应加工多少零件？73.小明读一本书，已读的和未读的页数之比是5：4。如果再读27页，已读的和未读的页数之比是2：1。这本书有多少页？解析：这本书的总页数是不变的量，转换过程中可以把总页数看作单位“1”，已读的和未读的页数之比是5：4，也就是已读的占（）份，未读的占（）份，已读的页数占总页数的（）；如果再读27页，已读的和未读的页数之比是2：1，已读的页数和未读的页数都变了，他们的份数也变了，此时已读的占（）份，未读的占（）份，已读的页数占总页数的（）。小结：在把关于比的问题转化为份数问题时，同城把体重的不变量看作单位“1”。举一反三：甲乙两袋糖果之比是3:2，如果把甲袋糖果拿出5kg放入乙袋，这时甲乙之比是1:1，两袋糖果各重多少？比和比的应用一、填空。1．两个数（）又叫做两个数的比。2．把7.8：3.9化成最简单的整数比是（），比值是（）。3．():16＝83＝()÷24＝18:()4.15÷（）=5:8=()40=（）85．甲数是乙数的1.5倍，甲数与乙数的比是（）。6．把2：5的前项加上6，要使比值不变，比的后项应扩大到原来的（）倍。7．正方形的周长和边长的比是（）。8．8.4:5的前项扩大到原来的5倍，要使比值不变，后项应该（），如果前项加上12，要使比值不变，后项应加上（）。9.女生人数占男生人数的56，则男生与女生人数的比是（），男生占总人数的（）。10.李明与王华身高的比是6：5，李明比王华高（）；王华比李明矮()。11.一份稿件，甲要4小时打完，乙要5小时打完，甲和乙所用的时间的比是（），工作效率的比是（）。12.一箱苹果，吃了23，已吃了的和剩下的比是（），比值是（）。二、判断题。（对的在括号里打“√”，错的打“×”）1．比的前项和后项同时乘上或除以相同的数，比值不变。（）2．3小时：15分＝1：5。（）3.一杯盐水，盐占盐水的91，盐和水的比是1∶9。（）4.比的后项不能是0。…………………………………（）三、选择题。（把正确答案的序号填在括号里。）1．把20克糖放入100克水中，糖与糖水的比是（）。A．1：5B．1：6C．1：42女生人数是男生人数的54，女生人数与全班人数的比是（）。A．4：5B．5：9C．4：94．甲数和乙数的比是4:5，则乙数比甲数多（）。9A．20%B．80%C．25%5．一项工程，甲队独做4天完成，乙队独做6天完成，甲、乙工作效率的比是（）。A．41：61B．2：3C．3：2四、计算1．求比值，并化简。①43：87②41：0.125③53：0.27④0.25吨：25千克⑤32小时：60分⑥10千米：800米七、应用题1.一套西装320元，其中裤子的价格是上衣的53，上衣和裤子的价格各是多少元？２．一个长方形花园，周长是98米，长和宽的比是4:3，这个花园的面积是多少平方米？3．用120cm的铁丝做一个长方体的框架。长宽高的比是3:2:1,。这个长方体的长、宽、高分别是多少？4．甲乙两个工程队共修路360米，甲乙两队所修的长度比是5：4，甲队比乙队多修了多少米？105.妈妈比小明大24岁，今年妈妈与小明的年龄比是5:1，小明和妈妈的年龄各是几岁？6．配制一种消毒药，药液和水的比是1：50，要配制这种消毒药300千克，需要药液和水各多少千克？7．配制一种消毒药，药液和水的比是1：50，现有药液300千克，需要加水多少千克？8．配制一种消毒药，药液和水的比是1：50，现有水300千克，需要加药液多少千克？9.一瓶盐水，盐和水的重量比是1：24，如果再放入75克水，这时盐与水的重量比是1：27，原来瓶内盐水重多少千克？10.甲、乙、丙三位同学共有图书108本，乙比甲多18本，乙与丙的图书数之比是5：4，求甲、乙、丙三人各有图书多少本？11.盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是2：3，红球个数与白球个数的比是4：5。已知三种颜色的球共175个，红球有多少个？11“1”的（），再求出这两个锐角分别是多少度。例4：有两堆货物。甲堆比乙堆多18吨。甲堆与乙堆重量的比是9：5，两堆货物各有多少吨？（题型4：已知两个量的比和它们的差，求这两个量分别是多少）解析：可以把两堆货物的总重量看作单位“1”，甲堆货物占单位“1”的（），乙堆货物占单位“1”的（），两堆货物的差量18吨占单位“1”的分率是（），根据“已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量”，再分别求出这两个分量。(四)能力拓展1.学校四、五、六年级共140人参加旅行活动。四、五年级的人数比是2：3，五、六年级的人数比是4：5，问四、五、六年级各有多少人参加活动？解析：第一步：第二步：第三部：四、五、六三个年级的人数比为：45:1:32。解：设五年级的人数为单位1，则：四年级人数是五年级人数的23，六年级人数是五年级人数的54。所以有：12小结：这是一道连比的实际问题，要根据其中一个中间量（五年级人数），一般都把中间量看做单位“1”，来找出三