圆与圆的位置关系

春季同步课程第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系教学目标1.掌握直线与圆的三种位置关系及其相应数量关系的特征，通过分析将直线与圆的各种位置关系转化为相应的数量关系，体会数量分析的研究方法以及量变引起质变的观点.2.掌握圆的切线的判定定理.3.理解圆与圆的位置关系及其有关概念，初步掌握圆与圆各种位置关系相应的数量关系的特征，会进行“圆与圆的位置关系”、“两圆圆心距与这两圆半径长之和或差的大小关系”这两者之间的相互转化，并能初步运用这些知识解决有关问题.4.掌握两圆相切和相交的连心线性质定理.教学重点1.直线和圆的位置关系的判定方法和性质.2.两圆的五种位置关系中的圆心距与两圆的半径之间的数量关系.3.相交、相切两圆的性质及应用.教学难点1.探索直线与圆的位置关系中圆心到直线的距离与半径的大小关系并运用相关结论解决有关问题.2.探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系并运用相关结论解决有关问题.教学方法建议总结归纳，启发诱导，讲练结合，巩固优化.第一部分知识梳理一.直线与圆的位置关系1.直线与圆的三种位置关系如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系：（1）直线l和⊙O相离dr此时：直线和圆没有公共点．（2）直线l和⊙O相切dr此时:直线和圆有唯一公共点，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．春季同步课程（3）直线l和⊙O相交0dr此时:直线与圆有两个公共点，这时的直线叫做圆的割线．2.切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质:（1）与圆只有一个公共点；（2）圆心到切线的距离等于半径；（3）圆的切线垂直于过切点的半径.切线的识别:（1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.证明直线是圆的切线的两种情况:（1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径长”来判定直线与圆相切.（2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”.二.圆与圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含.圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距.设两圆的圆心距为12OOd，半径为0rR，则有：lll（1）（2）（3）OOO春季同步课程（1）外离：没有公共点，两圆外离dRr（2）外切：有唯一的公共点，两圆外切dRr（3）相交：有两个公共点，两圆相交RrdRr（4）内切：有唯一的公共点，两圆内切dRr（5）内含：没有公共点，两圆内含0dRrRrTRrBARrRrRr（1）（2）（3）（4）（5）2.相切两圆的性质连心线：经过两个圆的圆心之间的直线.相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点.注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切.TT3.相交两圆的性质相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧.BA第二部分例题精讲例1如图，已知RtABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4（1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？（2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？（3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围.春季同步课程出题意图：考查直线与圆的位置关系.解析：利用圆心到直线的距离与半径比较即可得出圆与直线的位置关系.答案：解：在RtABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.由勾股定理，得AB=5.设点C到AB的距离为d，则1122ACBCABd即d5214321解得d=2.4.（1）∵2.4＞2，即d＞R∴半径长R为2的⊙C与直线AB相离.（2）∵2.4＜4，即d＜R，∴半径长R为4的⊙C与直线AB相交.（3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，那么⊙C与直线AB相切或相交.∴当R≥2.4时，⊙C与直线AB有公共点.针对训练1已知RtABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B为圆心作⊙B.（1）若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围.（2）若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围.ABCACB春季同步课程例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．CBAO出题意图：考查切线的判定定理.解析：欲证AB是⊙O的切线,由于AB过圆上点C,若连结OC,则AB过半径OC的外端,只需证明OC⊥AB即可.答案：证明：连结0C∵0A＝0B，CA＝CB∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线．∴AB⊥OC．∵直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C∴AB是⊙O的切线．针对训练2如图，AC是⊙O的弦，AC=BC=OC.求证：AB是⊙O的切线.BCOACBAO春季同步课程例3如图，已知⊙A、⊙B、⊙C两两外切，且AB=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求这个三个圆的半径长.出题意图：考查圆与圆的位置关系.解析：利用外切两圆的圆心距等于半径之和即可.答案：解：设⊙A、⊙B、⊙C的半径长分别为x厘米、y厘米、z厘米.∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切，∴AB＝x＋y，BC＝y＋z，CA＝z＋x.根据题意，得关于x、y、z的方程组653xzzyyx解得142zyx∴⊙A、⊙B、⊙C的半径长分别为2厘米、1厘米、4厘米.针对训练3如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米.求：（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？ACB春季同步课程例4相交两圆的公共弦长为6，若两圆半径分别为8和5，求两圆的圆心距.出题意图：考查相交两圆的性质.解析：两圆相交要考虑两种情况：（1）圆心在公共弦的同侧，此时圆心距等于两条弦心距之和；（2）圆心在公共弦的两侧，此时圆心距等于两条弦心距之差的绝对值.答案：解：①圆心在公共弦的两侧1122,OAOBOAOB12OO为AB的垂直平分线∴AB⊥12OO，AC=CB18,3AOAC155OC25,3OAAC24OC12554OO②圆心在公共弦的同侧由①可得：155OC，24OC1212554OOOCOC针对训练4已知1O和2O相交于A、B两点，P是连心线12OO与2O的交点，PA、PB的延长线分别交1O于点C、D.求证：ACBDBDCAPCO1O2BA春季同步课程例5如图，1O与2O内切于点P，经过1O上点Q的切线与2O相交于A、B两点，直线PQ交2O于点R.求证：RARBQRBAP出题意图：考查相切两圆的性质.解析：利用相切两圆的性质：两圆相切，连心线过切点.本题中过两个圆心作一条直线，则这条之间直线必过点P，然后利用圆中的相关知识即可解答.答案：证明：联结1OQ、2OR，作直线12OO.1O与2O内切于点P12OO经过点P11OPOQ，22OPOR1122,OQPOPQORPOPR12OQPORP1OQ∥2ORAB与1O相切与点Q.1OQAB2ORABRARB针对训练5如图，1O与2O外切于点P，经过1O上点Q的切线与2O相交于A、B两点，直线PQQRBAP春季同步课程交2O于点R.求证：RARBRPQBA例6在ABC中，6ABAC，30B，点1O、2O在BC上，1O、2O外切于点P.1O与AB相切于点D，与AC相离；2O与AC相切于点E，与AB相离.（1）求证：DP∥AC.（2）设1O的半径长为x，2O的半径长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域.PEDCBA出题意图：考查圆与圆位置关系的综合应用解析：利用等腰三角形的性质和圆与圆的位置关系，可推导出第一问的结论，再结合锐角三角比的知识推出函数解析式，在考虑定义域的时候要考虑到相关动点的临界位置问题，这是个难点，需要多加注意.答案：解：（1）联结1OD1O与AB相切于点D春季同步课程190BDO30B160BOD11ODOP111302BPDODPBOD30BPDCDP∥AC（2）联结2OE，则2OEAC，作AHBC于H.222130,,sin2OECOEyCOC22,23OCyPCyyy同理3BDx3cos306332BHAB63BCBPPCBC3363xy23yx当1O与H重合时，1O与AC相切，此时332x当2O与H重合时，2O与AB相切，此时32x3323(3)22yxx针对训练6在ABC中，，90BAC，22ABAC，圆A的半径长为1，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设BO=x，AOC的面积为y.（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域.春季同步课程（2）以点O为圆心、BO为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时，AOC的面积.OCBA第三部分优化作业基础训练题（A）1.下列直线中，不能判定为圆的切线的是（）A.与圆仅有一个公共点的直线；B.与圆心的距离等于半径长的直线；C.过半径的端点且与该半径垂直的直线；D.过直径的端点且与该直径垂直的直线.2.已知O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与O的交点个数为（）A.0B.1C.2D.无法确定3.1O的半径为3厘米，2O的半径为2厘米，圆心距12OO=5厘米，这两圆的位置关系是（）A.内含B.内切C.相交D.外切4.已知两圆的直径分别为6cm和10cm，当两圆外切时，它们的圆心距d的大小是（）A.8dcmB.48cmdcmC.8dcmD.4dcm5.已知线段AB=3cm，A的半径为4cm，若A与B相切，则B的半径为cm.春季同步课程6.如图，AB与O相切于点C，OA=OB，若O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是cm.OCBA7.设O的半径为r，圆心O到直线a的距离为d，若d=r，则直线a与O的位置关系是.8.两圆的直径分别为3+r和3-r，若它们的圆心距为r,则两圆的位置关系为.9.已知1O、2O的半径长分别是3cm、5cm，如果1O与2O内含，那么圆心距d的取值范围为.10.两圆的半径之比为5:3，如果当它们外切时，圆心距长为16，那么当它们内切时，圆心距长为.11.已知1O和2O的半径为方程2420xx的两个根，若122.5OO，试判断1O和2O的位置关系.12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥AD，AD+BC=AB.求证：以AB为直径的与CD相切.ODCBA春季同步课程13.如图，OA=OB=8，OA⊥OB，以O为圆心、OA为半径作AB，2O与以OA为直径的1O相切于点E，与AB相切于F，与OB相切于D，求2O的半径长.EFDBAO14.如图，已知A是1O、2O的一个交点，点P是12OO的中点.过点A的直线MN垂直于PA，交1O、2O于M、N.求证：AM=AN.PNMA15.已知1O和2O相交于A、B两点，公共弦与连心线12OO相交于点G，若AB=48，1O的半径130r，2O的半径240r.求12AOO的面积.春季同步课程提高训练题（B）1.已知O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线与O的位置关系是（）A.相切B.相离C.相离或相切D.相切或相交2.已知ABC三边分别是abc、、，两圆的半径1ra，2rb，圆心距dc，则这两个圆的位置关系是（）A.相交B.内切C.外切D.内含3.两圆的半径长度分别为R和r，两圆心间的距离为d，如果将长度分别为R、r、d三线段首尾相接可以围成一个三角形，