基本初等函数教案

1第二章基本初等函数知识点介绍知识点一：二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：一般式：y=ax2+bx+c；两根式：y=a（x－x1）（x－x2）；顶点式：y=a（x－x0）2+n.（2）当a＞0，f（x）在区间［p，q］上的最大值为M，最小值为m，令x0=21（p+q）.若－ab2＜p，则f（p）=m，f（q）=M；若p≤－ab2＜x0，则f（－ab2）=m，f（q）=M；若x0≤－ab2＜q，则f（p）=M，f（－ab2）=m；若－ab2≥q，则f（p）=M，f（q）=m.知识点二：指数与指数函数1．根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n。当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*nNnmaaanmnm，)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）ra·srraa),,0(Rsra；（2）rssraa)(),,0(Rsra；（3）srraaab)(),,0(Rsra．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a10a12654321-1-4-224601654321-1-4-224601定义域R定义域R值域y＞0值域y＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，)1a0a(a)x(fx且值域是)]b(f),a(f[或)]a(f),b(f[；（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；1.指数（1）n次方根的定义：若xn=a，则称x为a的n次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n为奇数时，nna=a.②当n为偶数时，nna=|a|=).0(),0(aaaa（3）分数指数幂的意义①anm=nma（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.②anm=nma1=nma1（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.（4）指数函数的性质：①定义域：R；②值域：（0，＋∞）；③过点（0，1），即x=0时，y=1；④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数.2.指数函数（1）指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数.（2）指数函数的图象：OxyOxyy=ax11a）1y=ax((0＜a＜1)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.3知识点三：对数与对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxalog（a—底数，N—真数，Nalog—对数式）说明：○1注意底数的限制0a，且1a；○2xNNaaxlog；○3注意对数的书写格式．两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数Nlg；○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．指数式与对数式的互化幂值真数ba＝NlogaN＝b底数指数对数（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：○1Ma(log·)NMalog＋Nalog；○2NMalogMalog－Nalog；○3naMlognMalog)(Rn．注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．2、对数函数的性质：a10a1Nalog432.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）（三）幂函数1．幂函数定义及其图象：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数.2．几种常见幂函数的图象：（1）xy；（2）21xy；（3）2xy；（4）1xy；（5）3xy．3．幂函数性质．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．【提示】应熟练掌握二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数，以及形如y=x+x1的函数等一些常见函数的性质，归纳提炼函数性质的应用规律.再如函数单调性的用法主要是逆用定义等.例题讲解【例1】对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点.已5知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b－1（a≠0）.（1）当a=1，b=－2时，求f（x）的不动点；（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.【评述】二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）与二次函数y=ax2+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.【评述】本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析解决问题的能力.【例2】若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；（2）当x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）.【例3】已知9x－10·3x+9≤0，求函数y=（41）x－1－4（21）x+2的最大值和最小值.【例4】若关于x的方程25－|x+1|－4·5－|x+1|－m=0有实根，求m的取值范围.教案《基本初等函数》参考答案【知识讲解】【例1】解：（1）当a=1，b=－2时，f（x）=x2－x－3=xx2－2x－3=0（x－3）（x+1）=0x=3或x=－1，∴f（x）的不动点为x=3或x=－1.（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点对任意实数b，ax2+（b+1）x+b－1=x恒有两个不等实根对任意实数b，Δ=（b+1）2－4a（b－1）＞0恒成立对任意实数b，b2+2（1－4a）b+1+4a＞0恒成立Δ′=4（1－4a）2－4（1+4a）＜0（1－4a）2－（1+4a）＜04a2－3a＜0a（4a－3）＜00＜a＜43.【例2】解：（1）∵f（x）=x2－x+b，∴f（log2a）=log22a－log2a+b.6由已知有log22a－log2a+b=b，∴（log2a－1）log2a=0.∵a≠1，∴log2a=1.∴a=2.又log2［f（a）］=2，∴f（a）=4.∴a2－a+b=4，b=4－a2+a=2.故f（x）=x2－x+2，从而f（log2x）=log22x－log2x+2=（log2x－21）2+47.∴当log2x=21即x=2时，f（log2x）有最小值47.（2）由题意2)2(log22loglog22222xxxx21102xxx或0＜x＜1.【例3】解：由9x－10·3x+9≤0得（3x－1）（3x－9）≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2.令（21）x=t，则41≤t≤1，y=4t2－4t+2=4（t－21）2+1.当t=21即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2.【例4】解法一：设y=5－|x+1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－m=0在（0，1］内有实根.设f（y）=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f（0）＞0且f（1）≤0，得－3≤m＜0.解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x+1|∈（0，1］，∴m=（y－2）2－4∈［－3，0）.课堂演练1．若函数y=ax+b－1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有（）A.0＜a＜1且b＞0B.a＞1且b＞0C.0＜a＜1且b＜0D.a＞1且b＜02．函数y=1+ax(0a1)的反函数的图象大致是()A.B.C.D.3.已知a0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是()74．已知0＜a＜1，logam＜logan＜0，则()A.1＜n＜mB.1＜m＜nC.m＜n＜1D.n＜m＜15.计算：①64log2log273;②3log422=；2log227log553125=;③21343101.016])2[()87(064.075.030=6．函数y=（21）222xx的递增区间是___________.7.函数y=log21(2x2-3x+1)的递减区间为8.若函数)10(log)(axxfa在区间]2,[aa上的最大值是最小值的3倍，则a=9.已知1()log(01)1axfxaax且，（1）求()fx的定义域（2）求使()0fx的x的取值范围【课堂演练】1．解析：作函数y=ax+b－1的图象.答案：C6．解析：∵y=（21）x在（－∞，+∞）上是减函数，而函数y=x2－2x+2=（x－1）2+1的递减区间（－∞，1］，∴原函数的递增区间是（－∞，1］.答案：（－∞，1］基本初等函数练习一、选择题1．对数式log32－(2＋3)的值是()．A．－1B．0C．1D．不存在2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是()．ABCD3．如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是()．A．(1－a)31＞(1－a)21B．log1－a(1＋a)＞0C．(1－a)3＞(1＋a)2D．(1－a)1+a＞184．函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是()．A．1＜d＜c＜a＜bB．c＜d＜1＜a＜bC．c＜d＜1＜b＜aD．d＜c＜1＜a＜b5．已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于()．A．34B．8C．18D．216．如果函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间121，上是减函数，那么实数a的取值范围是()．A．a≤2B．a＞3C．2≤a≤3D．a≥37．函数f(x)＝2－x－1的定义域、值域是()．A．定义域是R，值域是RB．定义域是R，值域为(0，＋∞)C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)D．定义域是(0，＋∞)，值域为R8．已知－1＜a＜0，则()．A．(0.2)a＜a21＜2aB．2a＜a21＜(0.2)aC．2a＜(0.2)a＜a21D