带电粒子在匀强磁场中的运动(12道经典例题)

3.5带电粒子在匀强磁场中的运动判断下图中带电粒子（电量q，重力不计）所受洛伦兹力的大小和方向：-Bv+v×××××××××××××××××××××××××BF1、匀速直线运动2、匀速圆周运动3）粒子运动方向与磁场有一夹角（大于0°小于90°）轨迹为螺线温故知新图1图2图3带电粒子做圆周运动的分析方法一、圆心的确定1.已知入射方向和出射方向,可以通过入射点和出射点分别作垂直与入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心v0PMOvvPMO2.已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心．二、半径的确定和计算利用平面几何的关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：１．粒子速度的偏向角φ等与圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角θ（弦切角）的２倍．即φ=α=2θ=ωt２．相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ'互补，即θ＋θ'＝１８０°φ(偏向角）ＡvvO'αＢθθθ‘三、运动时间的确定利用偏转角（即圆心角α）与弦切角的关系，或者利用四边形的内角和为360°，计算出圆心角α的大小,由公式可求出粒子在磁场中运动的时间.Tt360一、带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定例1.如图所示，一束电子（电荷量为e）以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中.穿过磁场时速度方向与电子原来射入方向的夹角是30°，则电子的质量为，穿过磁场的时间是.分析：本题已知轨迹上两点的速度方向即轨迹的切线方向，就可以确定圆心的位置，再由此解出半径.解：因为速度方向改变30°，因此此段轨迹所对应的圆心角为30°，如图所示，由几何关系可得：半径R=2d再由半径公式可以求出电子的质量穿过磁场的时间.【答案】【点评】由速度方向的改变确定圆心角的大小是解本题的第一个关键点，通过解直角三角形求出半径R是解本题的第二个关键点.mvR=eB2deBm=vθπdt=T=2π3v2deBvπd3v二、单边界问题例2.如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正负粒子（不计重力），从O点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正负粒子在磁场中（）A.运动时间相同B.运动轨迹的半径相同C.重新回到边界时的速度相同D.重新回到边界时与O点的距离相等解析：两偏转轨迹的圆心都在射入速度的垂直线上，可假设它们的半径为某一长度，从而画出两偏转轨迹，如图所示.由此可知它们的运动时间分别为；轨迹半径相等；射出速度方向都与边界成θ角；射出点与O点距离相等，为：d=2R·sinθ.故选项B、C、D正确.(22)212π-θmθmt=t=BqBq、mvR=Bq带电粒子垂直射入单边界的匀强磁场中，可分两类模型分析：一为同方向射入的不同粒子；二为同种粒子以相同的速率沿不同方向射入.无论哪类模型，都遵守以下规律：（1）轨迹的圆心在入射方向的垂直线上，常可通过此垂线的交点确定圆心的位置.（2）粒子射出方向与边界的夹角等于射入方向与边界的夹角.方法概述1：三、双边界问题例3.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，其磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线.现有质量为m、电荷量为q的带负电粒子沿图示方向垂直磁场方向射入，要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值是（）A.B.C.D.qBdm22+qBdm2qBdm2-2qBdm【解析】如图所示，由半径公式可知，当粒子的运动轨迹与NN′相切时，粒子入射速率v最大.设此时轨迹半径为R，则有：R+Rcos45°=d，解得：将上式代入，得：.【答案】D【点评】解决这类问题的关键在于画出与另一边界相切的粒子轨迹，以及确定轨迹的圆心位置和轨迹的半径大小.R=2-2dmvR=Bq2-2qBdv=m1.与另一边界相切时轨迹的作图步骤：（1）作入射方向的延长线与MN交于B点.（2）过入射点作入射方向的垂线.dR=1cosθ（3）分别作∠ABN和∠ABM的角平分线，两角平分线与入射方向的垂线的交点为O1和O2.（4）O1、O2分别为正负电荷临界偏转轨迹的圆心，通过圆心和入射点可作出两临界轨迹，如图所示.2.与另一边界相切轨迹的半径方法概述2：四、带电粒子穿过圆形区域磁场问题例4.在电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术来实现的.电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示.磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r.当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点.为了让电子束射到屏幕边缘P点处需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？【解析】如图所示，电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R.以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电荷量，则：又有由以上各式解得：.【答案】【点评】解答本题的关键是作出轨迹的示意图，利用几何知识及三角函数求出半径.易犯的错误有：①认为轨迹半径就是磁场的半径.②不能画出轨迹的示意图.③不能作出四边形CaOb，找不到电子束偏转角度θ与轨迹半径的关系.221veU=mvevB=m2R，θrtan=2R12mUθB=tanre212mUθtanre2③不能作出四边形CaOb，找不到电子束偏转角度θ与轨迹半径的关系.例5图55-11甲在真空中半径m的圆形区域内有一匀强磁场，磁场的磁感应强度B=0.2T，方向如图55-11甲所示，一个带正电的粒子以v0=1×106m/s的初速度从磁场边界上的a点沿直径ab射入磁场，已知该粒子的比荷，不计粒子重力.例5.在真空中半径r=3×10-2m的圆形区域内有一匀强磁场，磁场的磁感应强度B=0.2T，方向如图所示，一个带正电的粒子以v0=1×106m/s的初速度从磁场边界上的a点沿直径ab射入磁场，已知该粒子的比荷，不计粒子重力.（1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径.（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（用v0与Oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？8q=110C/kgm解：（1）设粒子做圆周运动的半径为R，则：（2）当粒子的速率一定时,粒子在磁场中的轨迹半径一定，当轨迹圆弧的弦长最大时，对应的圆心角最大、偏转角最大.由图可知，弦长的最大值为：ab=2r=6×10-2m设最大偏转角为αmax，此时初速度方向与ab连线的夹6008mvv110R===m=0.05mBqBq0.210m角为θ，则：得：αmax=74°所以当粒子以与ab夹角为37°斜向右上方入射时，粒子飞离磁场时有最大偏转角，最大值为74°.【答案】（1）0.05m（2）与ab夹角为37°斜向上74°【点评】从圆形区域的圆周上某点以相同速率射入的同种电荷，它们的轨迹半径相等.当射出点与射入点在同一直径上时，有最大的偏转角.maxαr3sin==2R5maxαθ==372带电粒子垂直进入圆形区域的匀强磁场中，只受洛伦兹力作用的运动轨迹有以下规律：1、沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出.证明：如图所示，连接OO′和OB.因为AO=BO，OO′为两三角形的公共边，AO′=BO′所以△AOO′≌△BOO′所以O′B⊥OB即OB为的切线，电荷射出的方向得证.2、同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，入射点与出射点的连线为直径,则轨迹的弧长最长，偏转角有最大值：AB方法概述3：RRBqα=2arcsin=2arcsinrmv五、带电粒子射入环形磁场区域问题例6.在受控热核聚变装置中，聚变原料有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束使其在某个区域内运动.现按下面的简化条件来讨论这个问题：图中是一个内半径R1=1.0m、外半径R2=2.0m的环状区域的截面，区域内有垂直截面向外的匀强磁场.已知氦核的比荷，磁场的磁感应强度B=0.4T，不计氦核的重力.设O点为氦核源，它能沿半径方向射出各种速率的氦核，求该磁场能约束住的氦核的最大速度vm.74.810C/kgq=m解：设速率为vm的氦核运动至外边缘时恰好与边界相切而返回，其轨迹如图所示.设∠BOA=θ，由几何关系有：R3=R1·tanθ联立解得：又因为氦核运动轨迹的半径解得：vm=1.44×107m/s.132RR=R-cosθ222132R-RR==0.75m2R点评：和前面各题型一样，求解粒子在环形区域的偏转半径，关键在于找出它与区域圆半径及各夹角之间的几何关系.方法概述4带电粒子从内圆垂直射入环形区域的匀强磁场中，可分以下两种情形总结规律：（1）若沿区域圆半径方向射入时，临界速率为：（2）若在内边沿上某点沿各方向射入时，临界速率为：（即此时轨迹半径）..2221m2Bq(R-R)v=2Rm21mBq(R-R)v'=2m21R-Rr=2例7.如图所示,在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场,一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角,若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a,则该粒子的比荷和所带电荷的正负是()A.,正电荷B.,正电荷C.,负电荷D.,负电荷3v2aBv2aB3v2aBv2aB【解析】带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示.根据左手定则可知粒子带负电荷.由图可知：，可得又由得，故选项C正确.【答案】Ca-Rsin30=R2R=a32mvqvB=Rq3v=m2aB六、有关临界问题的求解例8.质量为0.1g的小物块，带有5×10－4C的电荷量，放在倾角为30°的绝缘光滑斜面上，整个斜面置于0.5T的匀强磁场中，磁场方向如图所示，物块由静止开始下滑，滑到某一位置时，物块开始离开斜面(设斜面足够长，g＝10m/s2)，问：(1)物块带电性质？(2)物块离开斜面时的速度为多少？(3)物块在斜面上滑行的最大距离是多少？解：(1)由左手定则可知物块带负电荷．(2)当物块离开斜面时，物块对斜面压力为0，受力如图所示，则：qvB－mgcos30°＝0，解得v＝3.46m/s.(3)由动能定理得：mgsin30°·L＝mv2，解得物块在斜面上滑行的最大距离L＝1.2m.七、带电体在洛伦兹力作用下的直线运动例9.如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为m、带电荷量为q的微粒以速度v与磁场方向垂直，与电场成45°角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，求电场强度E和磁感应强度B的大小．解：假设粒子带负电，则所受电场力方向水平向左，洛伦兹力方向斜向右下方与v垂直，可以从力的平衡条件判断出这样的粒子不可能做匀速直线运动，所以粒子应带正电荷，受力情况如图所示根据合外力为零可得mg＝qvBsin45°①qE＝qvBcos45°②由①②式可得思维总结：在电场、磁场中电荷的受力方向都与电荷的正负有关，一定要明确是正电荷受力，还是负电荷受力；另外，分析带电粒子的受力情况时，不要丢掉重力．受力分析后，根据运动状态，列平衡方程或牛顿第二定律方程求解．例10.如图所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸里，磁感应强度为B.一带负电的粒子（质量为m、电荷量为q）以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.求：（1）该粒子射出磁场的位置；（2）该粒子在磁场中运动的时间.（所受重力不计）θθ例11.长为l的水平极板间有如图所示的匀强磁场，磁感强度为B，板间距离也为l。现有一质量为m、带电量为+q的粒子从左边板间中点处沿垂直于磁场的方向以速度v0射入磁场，不计重力。要想使粒子不打在极板上，则粒子进入磁场时的速度v0应满足什么条件?llvabcd∴v0＜qBl/4m或v0＞5qBl/4m解：若刚好从a点射出，如图：R-l/2Rllvabcdr=mv1/qB=l/4有v1=qBl/4m若刚好从b点射出，如图：要想使粒子不打在极板上，∴v2=5qBl/4mR2=l2+(R-l/