初中数学【7年级上】第3章第3节 解一元一次方程(2)

七年级数学（人教版上）同步练习第三章第三节解一元一次方程(二)一.本周教学内容：一元一次方程（二）列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。列方程解应用题的主要步骤：1.认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；2.用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；3.利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；4.求出所列方程的解；5.检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。【学习提示】一.数字问题：（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a＋10b＋c。（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2N表示，连续的偶数用2N＋2或2N—2表示；奇数用2N＋1或2N—1表示。例1.一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数[分析]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为x，则百位上的数为X＋7，个位上的数是3X，等量关系为三个数位上的数字和为17。解：设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为X＋7，个位上的数是3XX＋X＋7＋3X＝17解得X＝2X＋7＝9，3X＝6答：这个三位数是926例2.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数＋36＝对调后新两位数解：设十位上的数字X，则个位上的数是2X，10×2X＋X＝（10X＋2X）＋36解得X＝4，2X＝8，答：原来的两位数是48。二.工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。例3.一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？[分析]甲独作10天完成，说明的他的工作效率是1/10，乙的工作效率是1/8等量关系是：甲乙合作的效率×合作的时间＝1解：设合作X天完成（1/10＋1/8）X＝1解得X＝40/9答：两人合作40/9天完成例4.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？[分析]设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量＋乙完成工作量＝工作总量。解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(＋)×3＋＝1，解这个方程，＋＋＝112＋15＋5x＝605x＝33∴x＝＝6答：乙还需6天才能完成全部工程。例5.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？[分析]等量关系为：甲注水量＋乙注水量－丙排水量＝1。解：设打开丙管后x小时可注满水池，由题意得，(＋)(x＋2)－＝1解这个方程，(x＋2)－＝121x＋42－8x＝7213x＝30∴x＝＝2答：打开丙管后2小时可注满水池。三.行程问题：[解题指导]（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间。（2）基本类型有1）相遇问题；2）追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例6.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。（1）分析：相遇问题，画图表示为：甲乙等量关系是：慢车走的路程＋快车走的路程＝480公里。解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x＋90(x＋1)＝480解这个方程，230x＝390∴x＝1答：快车开出1小时两车相遇分析：相背而行，画图表示为：600甲乙等量关系是：两车所走的路程和＋480公里＝600公里。解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140＋90)x＋480＝600解这个方程，230x＝120∴x＝答：小时后两车相距600公里。（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程＋480公里＝600公里。解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x＋480＝60050x＝120∴x＝2.4答：2.4小时后两车相距600公里。分析：追及问题，画图表示为：甲乙等量关系为：快车的路程＝慢车走的路程＋480公里。解：设x小时后快车追上慢车。由题意得，140x＝90x＋480解这个方程，50x＝480∴x＝9.6答：9.6小时后快车追上慢车。分析：追及问题，等量关系为：快车的路程＝慢车走的路程＋480公里。解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x＝90(x＋1)＋48050x＝570∴x＝11.4答：快车开出11.4小时后追上慢车。例7.甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？[分析]]追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程＝它的速度×时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间解：设甲用X小时追上乙，根据题意列方程5X＝3X＋5解得X＝2.5，狗的总路程：15×2.5＝37.5答：狗的总路程是37.5千米。例8.某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。[分析]这属于行船问题，这类问题中要弄清：（1）顺水速度＝船在静水中的速度＋水流速度；（2）逆水速度＝船在静水中的速度－水流速度。相等关系为：顺流航行的时间＋逆流航行的时间＝7小时。解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x－10)千米，由题意得，X/（8＋2）＋（X－10）/（8－2）＝7解这个方程，X/10＋（X－10）/6＝7，∴x＝32.5答：A、B两地之间的路程为32.5千米。四.利润赢亏问题1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等2）有关关系式：商品利润＝商品售价—商品进价＝商品标价×折扣率—商品进价商品利润率＝商品利润/商品进价商品售价＝商品标价×折扣率例9.某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？[分析]通过列表分析已知条件，找到等量关系式进价折扣率标价优惠价利润率60元8折x元80%x40%等量关系：商品利润率＝商品利润/商品进价解：设标价是x元，100406060%80x解之：x＝105优惠价为80%x＝8410510080（元）例10.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？[分析]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元进价折扣率标价优惠价利润X元8折（1＋40%）X元80%（1＋40%）X15元等量关系：（利润＝折扣后价格—进价）折扣后价格－进价＝15解：设进价为X元，80%X（1＋40%）—X＝15，X＝125答：进价是125元。五.储蓄问题1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税2）利息＝本金×利率×期数本息和＝本金＋利息利息税＝利息×税率（20%）例11.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）[分析]等量关系：本息和＝本金×（1＋利率）解：设半年期的实际利率为X，250（1＋X）＝252.7X＝0.0108所以年利率为0.0108×2＝0.0216答：银行的年利率是2.16%例12.为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：1）直接存入一个6年期；2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？[分析]这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。解：1）设存入一个6年的本金是X元X（1＋6×2.88%）＝20000，X＝170532）设存入两个三年期开始的本金为Y元，Y（1＋2.7%×3）（1＋2.7%×3）＝20000，X＝171153）设存入一年期本金为Z元，Z（1＋2.25%）6＝20000，Z＝17894所以存入一个6年期的本金最少。六.日历中的方程例13.1）在一份日历中，任意框出一个竖列上相邻的四个数，观察他们之间是什么关系？如果框出的四个数的和为58，这四天分别是几号？2）如果用一个正方形所圈出的4个数的和为76，这四天分别是几号？[分析]观察、分析四个数的关系，设法用一个未知数圈出的四个数解：1）设竖列的四个数中最小的一个是X，其余三数分别为X＋7，X＋14，X＋21X＋X＋7＋X＋14＋X＋21＝58，X＝4。所以这四个数是4号，11号，18号，25号2）设四个数中最大的一个数Y，其余三个数是Y—1，Y—7，Y—8Y＋Y－1＋Y－7＋Y－8＝76，Y＝23，所以这四个数是15、16、22、23注意：虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解。【模拟试题】（答题时间：40分钟）1.一个三位数，它的个位上的数比百位上的数的3倍大1，它的十位上的数比百位上的数的4倍小3，如果把这个三位数的十位上的数与百位上的数对换，得到的三位数比原来的三位数大270，求原来的三位数。2.一个四位数，左边第一位数字是7，若把这个数字调到末位，得到的新数比原来四位数少864，求原来的数。3.一件工作，甲独作20小时完成，乙独作12小时完成，现在先由甲独作4小时，剩下的部分由甲乙合作，剩下的部分需几小时完成？4.一轮船从重庆到上海要5昼夜，而从上海到重庆要7个昼夜，那么有一竹排从重庆顺流漂到上海要多少天？5.一个水池共有A、B两个进水管和一个排水管C，单开A管6小时注满水池，单开B管10小时注满全池，单开C管9小时把水池中的水排完。若先同时打开A、B两管，向空池内注水，2.5小时后，打开C管，则打开C管几小时后可将水池中注满水？设X小时以后可以注满，6.甲乙两站之间的