新教材北师大版高中数学必修四：第三章综合测试题(含答案)

（新教材）北师大版精品数学资料阶段性测试题四(第三章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．函数f(x)＝sinxcosx的最小值是()A．－1B．－12C．12D．1[答案]B[解析]f(x)＝sinxcosx＝12sin2x，∴f(x)min＝－12.2．cos67°cos7°＋sin67°sin7°等于()A．12B．22C．32D．1[答案]A[解析]cos67°cos7°＋sin67°sin7°＝cos(67°－7°)＝cos60°＝12.3．若x＝π8，则sin4x－cos4x的值为()A．12B．－12C．－22D．22[答案]C[解析]sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝sin2x－cos2x＝－cos2x，∴x＝π8时，－cos2x＝－cosπ4＝－22.4．(2014·山东德州高一期末测试)下列各式中值为22的是()A．sin45°cos15°＋cos45°sin15°B．sin45°cos15°－cos45°sin15°C．cos75°cos30°＋sin75°sin30°D．tan60°－tan30°1＋tan60°tan30°[答案]C[解析]cos75°cos30°＋sin75°sin30°＝cos(75°－30°)＝cos45°＝22.5．1－sin20°＝()A．cos10°B．sin10°－cos10°C．2sin35°D．±(sin10°－cos10°)[答案]C[解析]1－sin20°＝1－cos70°＝2sin235°，∴1－sin20°＝2sin35°.6．已知cos2α＝14，则sin2α＝()A．12B．34C．58D．38[答案]D[解析]∵cos2α＝1－2sin2α＝14，∴sin2α＝38.7．若函数f(x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈R)，则f(x)是()A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π2的奇函数[答案]D[解析]f(x)＝sin2x(1－2sin2x)＝sin2x·cos2x＝12sin4x(x∈R)，∴函数f(x)是最小正周期为π2的奇函数．8．若sinθ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是()A．π＜θ＜3π2B．5π4＜θ＜7π4C．3π2＜θ＜2πD．π4＜θ＜3π4[答案]B[解析]∵cos2θ＜0，得1－2sin2θ＜0，即sinθ＞22或sinθ＜－22，又已知sinθ＜0，∴－1≤sinθ＜－22，由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π4.9．若0＜α＜β＜π4，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则()A．a＜bB．a＞bC．ab＜1D．不确定[答案]A[解析]∵a＝2sinα＋π4，b＝2sinβ＋π4，又0＜α＜β＜π4，∴π4＜α＋π4＜β＋π4＜π2，且y＝sinx在0，π2上为增，∴2sinα＋π4＜2sinβ＋π4.10．将函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是()A．y＝cos2xB．y＝2cos2xC．y＝1＋sin(2x＋π4)D．y＝2sin2x[答案]B[解析]将函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝sin2x＋π4，即y＝sin2x＋π2＝cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos2x＝2cos2x.11．已知f(tanx)＝sin2x，则f(－1)的值是()A．1B．－1C．12D．0[答案]B[解析]f(tanx)＝sin2x＝2sinxcosx＝2sinxcosxsin2x＋cos2x＝2tanxtan2x＋1，∴f(x)＝2xx2＋1，∴f(－1)＝－22＝－1.12．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π2的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π2的偶函数[答案]D[解析]f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝12sin22x＝14－14cos4x.∴函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．设α∈(0，π2)，若sinα＝35，则2cos(α＋π4)等于________．[答案]15[解析]∵α∈(0，π2)，sinα＝35，∴cosα＝45，∴2cos(α＋π4)＝2cosαcosπ4－2sinαsinπ4＝2×45×22－2×35×22＝45－35＝15.14．计算：sin7°－sin15°cos8°cos7°－cos15°cos8°的值为________．[答案]－2－3[解析]原式＝sin15°－8°－sin15°cos8°cos15°－8°－cos15°cos8°＝sin15°cos8°－cos15°sin8°－sin15°cos8°cos15°cos8＋sin15°sin8－cos15°cos8°＝－cos15°sin8°sin15°sin8°＝－cot15°＝－1tan15°＝－1tan45°－30°＝－1＋tan30°1－tan30°＝－2－3.15．若α为锐角，且sinα－π6＝13，则sinα的值为________．[答案]3＋226[解析]∵0απ2，∴－π6α－π6π3.又∵sinα－π6＝130，∴0α－π6π3，∴cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－132＝223.∴sinα＝sinα－π6＋π6＝32sinα－π6＋12cosα－π6＝32×13＋12×223＝3＋226.16．关于函数f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π6，有下列命题：①y＝f(x)的最大值为2；②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；③y＝f(x)在区间π24，13π24上单调递减；④将函数y＝2cos2x的图像向左平移π24个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)[答案]①②③[解析]化简f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π2－π3＝cos2x－π3－sin2x－π3＝2cos2x－π12∴f(x)max＝2，即①正确．T＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．由2kπ≤2x－π12≤2kπ＋π，得kπ＋π24≤x≤kπ＋13π24，即③正确．将函数y＝2cos2x向左平移π24个单位得y＝2cos2x＋π24≠f(x)，∴④不正确．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知α是第一象限的角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．[解析]∵α是第一象限的角，cosα＝513，∴sinα＝1213，∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sinα＋cosαcos2α＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214.18．(本小题满分12分)(2014·四川成都市树德协进中学高一阶段测试)已知π2απ，0βπ2，tanα＝－34，cos(β－α)＝513，求sinβ.[解析]∵0βπ2，π2απ，∴－πβ－α0.又∵cos(β－α)＝513，∴sin(β－α)＝－1213.又tanα＝－34，∴sinα＝35，cosα＝－45.∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝－1213×(－45)＋513×35＝6365.19．(本小题满分12分)已知sinα＝210，cosβ＝31010，且α、β为锐角，求α＋2β的值．[解析]∵sinα＝210，α为锐角，∴cosα＝1－sin2α＝1－2102＝7210.∵cosβ＝31010，β为锐角，∴sinβ＝1－310102＝1010.∴sin2β＝2sinβcosβ＝2×1010×31010＝35，cos2β＝1－2sin2β＝1－2×10102＝45.又β∈0，π2，∴2β∈(0，π)．而cos2β0，∴2β∈0，π2.∴α＋2β∈(0，π)．又cos(α＋2β)＝cosα·cos2β－sinα·sin2β＝7210×45－210×35＝22，∴α＋2β＝π4.20．(本小题满分12分)求函数y＝12cos2x＋32sinx·cosx＋1，x∈R的最大值以及y取最大值时自变量x的集合．[解析]∵y＝12cos2x＋32sinx·cosx＋1＝12·1＋cos2x2＋34sin2x＋1＝14cos2x＋34sin2x＋54＝12sin2x＋π6＋54∴当2x＋π6＝π2＋2kπ，即x＝kπ＋π6(k∈Z)时，ymax＝74.∴函数取最大值时自变量x和集合为x|x＝kπ＋π6，k∈Z，且最大值为74.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos(2x－π3)＋2sin(x－π4)sin(x＋π4)．(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[－π12，π2]上的值域．[解析](1)∵f(x)＝cos(2x－π3)＋2sin(x－π4)·sin(x＋π4)＝12cos2x＋32sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x＝12cos2x＋32sin2x－cos2x＝sin(2x－π6)，∴最小正周期T＝2π2＝π.∵2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ2＋π3，k∈Z，∴对称轴方程为x＝kπ2＋π3，k∈Z.(2)∵x∈[－π12，π2]，∴2x－π6∈[－π3，5π6]．∴f(x)＝sin(2x－π6)在区间[－π12，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减．当x＝π3时，f(x)取最大值1.又∵f(－π12)＝－32f(π2)＝12，∴当x＝－π12时，f(x)取最小值－32.所以函数f(x)在区间[－π12，π2]上的值域为[－32，1]．22．(本小题满分14分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，3sin2x)，x∈R.(1)若f(x)＝1－3且x∈－π3，π3，求x；(2)若函数y＝2sin2x的图象平移向量c＝(m，n)|m|π2得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值．[解析](1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋3sin2x＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6＋1，又∵f(x)＝1－3＝2sin2x＋π6＋1，∴sin2x＋π6＝－32，∴2x＋π6＝2kπ－π3或2x＋π6＝2kπ－2π3，又∵x∈－π3，π3，∴x＝－π4.(2)f(x)＝2sin2x＋π12＋1，y＝2sin2x向左平移π12个单位可得y＝2sin2x＋π12，再向上平移1个单位，即得y＝2sin2x＋π12＋1＝f(x)，∴c＝－π12，1，即m＝－π12，n＝1.