概率论与数理统计期末考试卷附答案

第1页（共9页）概率论与数理统计期末考试卷课程名称：概率论与数理统计考试时间专业班学号姓名题号一二三四五总得分得分评卷人复核人得分一、填空题（每格3分，共18分）1.设31)()()(321APAPAP，321,,AAA相互独立，则（1）321,,AAA至少出现一个的概率为___；（2）321,,AAA恰好出现一个的概率为___。2.设)2,1(~2NX，)1(~PY，6.0XY，则2)12(YXE______。3．设YX,是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为)(xFX，)(yFY则},max{YXZ的分布函数是。4．若随机变量X服从正态分布),(2N，2021,,,XXX是来自X的一个样本，令201110143iiiiXXY，则Y服从分布。5.若对任意给定的0x,随机变量y的条件概率密度其它,00,)(yxexyfxyzy则y关于x的回归函数)(xxy.得分二、单项选择题（每小题2分，共10分）第2页（共9页）1.设函数)(xf在区间],[ba上等于xsin，而在此区间外等于0，若)(xf可以做为某连续型随机变量X的密度函数，则区间],[ba为（）。(A)]2,0[；(B)],0[；(C)]0,2[；(D)]23,0[。2.假设随机变量X的概率密度为)(xf，即)(~xfX，期望与方差2都存在，样本)1(,,,21nXXXn取自X，X是样本均值，则有（）(A))(~xfX；(B))(~min1xfXini；(C))(~max1xfXini；(D))(~),,,(121niinxfXXX。3.总体2~(,)XN，2已知，n（）时，才能使总体均值的置信度为0.95的置信区间长不大于L。(975.0)96.1()（A）2215/L；（B）2215.3664/L；（C）2216/L；（D）16。4.对回归方程的显著性的检验，通常采用3种方法，即相关系数检验法，F检验法和t检验法，下列说法正确的（）。(A)F检验法最有效；(B)t检验法最有效；(C)3种方法是相通的，检验效果是相同的；（D)F检验法和t检验法，可以代替相关系数的检验法。5．设nXXX,,,21来自正态总体),(2N的样本(2已知),令nXu/,并且21u满足121212122/dxeuux(10),则在检验水平下,检验00:H时,第第3页（共9页）一类和第二类错误的概率分别是()和().(A)||{|21uuP当0H成立}；(B)21|{|uuP|当0H不成立}；(C)||{|21uuP当0H成立}；(D)21|{|uuP|当0H不成立}。得分三、计算题（每小题10分，共20分）1.设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击命中率分别处为0.2、0.3、0.5,目标被命中一发而被击毁的概率为0.2，被命中两发而被击毁的概率为0.6，被命中三发而被击毁的概率为0.9，求：（1）三门火炮在一次射击中击毁目标的概率；（2）在目标被击毁的条件下，只由甲火炮击中的概率。解：设事件CBA,,分别表示甲、乙、丙三门炮击中目标，D表示目标被击毁，iH表示有i门炮同时击中目标（3,2,1i），由题设知事件CBA,,相互独立，故2.0)(AP，3.0)(BP，5.0)(CP；2.0)|(1HDP，6.0)|(2HDP，9.0)|(3HDP)()(1CBACBACBAPHP)()()(CBAPCBAPCBAP)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP47.022.0)(2HP，03.0)(3HP（1）由全概率公式，得)|()()(31iiiHDPHPDP第4页（共9页）253.09.003.06.022.02.047.0（2）由贝叶斯公式，得)()|()()()()|(DPCBADPCBAPDPDCBAPDCBAP0554.0253.02.05.07.02.02．随机变量U在区间]2,2[上服从均匀分布，随机变量-1若U1若U11X，1若U1若U01Y。试求：（1）X和Y的联合概率分布；（2）)(YXE；（3）22YXZ的概率分布。解：（1）因随机变量U在区间]2,2[上服从均匀分布，故4141)1()1,1()1,1(12dxUPUUPYXP；0)()11,1()0,1(PUUPYXP；2141)11()1,1()1,1(11dxUPUUPYXP4141)1()1,1()0,1(21dxUPUUPYXP故X和Y的联合概率分布如下：YX－10－11/4011/21/4(2)关于X的边际分布为X－11p1/43/4关于Y的边际分布为Y－10p3/41/4第5页（共9页）故2143141)1()(XE，4341043)1()(YE，414321)()()(YEXEYXE（3）22YXZ的概率分布为22YXZ12p1/43/41.设随机变量X具有概率密度函数其他00)(2xAxxf，试求（1）常数A；（2）XYsin的概率密度函数；（3）)2/1|sin(|XP。解：（1）由1)(dxxf得12|2100222AAxdxAx，得2A；（2）由于X在),0(内取值，XYsin的取值区间为)1,0(，故Y的可能取值区间外，0)(yfY，故}arcsin{}arcsin0{}{XyyXyYdxxfdxxfyYPyFyXyXY)()(}{)(arcsinarcsin0dxxdxxyyarcsin2arcsin0222在上式两端对y求导，得得分四、计算题（每小题10分，共20分）第6页（共9页）222222arcsin2(arcsin)2()111Yyypyyyypppp-=+=---，10y（3）11220022122(|sin|)arcsin|21PXdyyypp===-ò132．设二维随机变量),(YX的联合分布密度为其它00,10)1(24)(xyxyxyxp(1)求随机变量X与Y的边际分布；(2)若YX,分别为一矩形木板的长与宽,求木板面积的数学期望；(3)求条件分布密度)21|(|xypXY。解：（1）xXxxydyxdyyxpxp02)1(12)1(24),()(10x)2(12)1(24),()(02yyydxxdxyxpypyY10y（2）DdxdyyxxypXYE),()(}0,10|),{(xyxyxDydyxxydxx)1(24010154(3)当10x时，2|2)(),()|(xyxpyxpxypXXYxy0当21x时，yxypXY8)21|(|210y得分五、计算题（每小题10分，共20分）第7页（共9页）1、设总体X的分布律为1()(1),1,2,xPXxppx，其中0p为未知参数，nXXX,,,21是来自总体X的样本，试求：（1）参数p的矩估计量；（2）参数p的极大似然估计量（只需列出方程）。2、假设随机变量X服从正态分布)1,(N,1021,,,xxx是来自X的10个观察值,要在05.0的水平下检验0:,0:100HH取拒绝域为}|{|CxR。(1)求?C；(2)若已知1x,是否可以据此样本推断)05.0(0；(3)如果以}15.1|{|xR作为该检验0:0H的拒绝域,试求检验的显著水平。其中975.0)96.1(，950.0)64.1(，99985.0)64.3(。解：（1）0:00H；0:1H选择统计量xnxU10/0当0时，)1,0(~/0NnxU对于05.0，查表知05.0}96.1|{|UP因此拒绝域}62.0|{|}96.110{}96.1|{|xxUR即62.0C（2）对于62.01x，即Rx，因此不能据此样本推断0；（3）}1015.1|10{|}15.1|{|xPxP第8页（共9页）}1015.1|10{|1xP0003.0]1)64.3(2[1由于检验的显著水平就是在0时成立时拒绝0H的概率0003.0}1015.1|10{|}{xPRUP得分五、证明题（10分）1．设0)(AP，试证：)()(1)|(APBPABP。证明：因为1)(BAP，即1)()()(ABPBPAP1)|()()()(ABPAPBPAP)](1[)()|()(BPAPABPAP)()()|()(BPAPABPAP)()(1)|(APBPABP（0)(AP）2．设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布)9,0(N，而921,,,XXX和921,,,YYY分别来自总体X和Y的样本，试证统计量)9(~292221921tYYYXXXU。