浙教版九年级上册相似三角形章节知识点及典型例题同程教育

1浙教版九年级上册数学《相似三角形》知识点与经典题型知识框图温馨提醒：全等三角形是相似比为1的相似三角形．知识拓展一下：若两直角三角形的斜边和一直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。比例四个数成比例两条线段的比比例的基本性质成比例线段应用：求图上距离或实际距离数的比例中项线段的比例中项黄金分割点、黄金分割比以及尺规作图找出分割点相似三角形概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形性质对应角相等，对应边成比例周长比等于，面积比等于应用两边一夹角：判定平行：两角：三边：相似多边形概念：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，叫做相似多边形性质：周长比等于，面积比等于对应角相等，对应边成比例的两个多边形，叫做相似多边形图形的位似位似图形的概念：一般地，两个相似的图形，如果它们每组对应点所在的直线都，而且两个对应点到这个点的距离之比都彼此相等，那么我们就说它们是位似图形，这个点叫做位似中心。位似多边形的性质：两个位似多边形的位似比等于它们的相似比。把一个图形按一定的位似比改变成它的位似图形，也叫做位似变换。任何一个平面图形及该平面上一点，都可以该点为位似中心，作出两个符合要求的图形均与原图形位似，且这两个符合要求的图形关于位似中心对称以坐标原点为位似中心的位似变换有如下性质：若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）2重要知识点和方法1、黄金分割：把线段AB分成两条线段)(,BCACBCAC，且使AC是BCAB和的比例中项，即2ACABBC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ABAC215≈0.618AB．即512ACBCABAC简记为：512长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形或顶角为108°的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金比的矩形2、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：a对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边；b全等三角形是相似比为1的相似三角形。二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．c传递性：若ABC∽CBA''，且CBA''∽CBA，则ABC∽CBA用数学语言表述是：BCDE//，∴ADE∽ABC．3、三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．4、几种基本图形的具体应用：（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；EADCBEADCBADCB（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）当ADAEACAB或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．ADCBEADCB5、相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．36、相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。①)(,为中间比nmnmdcnmba②'',,nnnmdcnmba③),(,''''''nmnmnnmmnmdcnmba或(4)添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例，以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k；对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。7.画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky),反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),4考点一、比例的变形及求值考点二、黄金分割的应用考点三、相似三角形中的线段、面积问题考点四、相似三角形中的定值问题考点五、相似在实际生活中的应用考点六、巧证比例线段考点七、添加辅助线构造相似三角形求线段长度、证明考点八、在平面直角坐标系中的位似变换及位似作图考点九、相似三角形的综合题考点题型解析考点一、比例的变形及求值1、若35abb=73，则ab的值为（）A.1915B.89C.1519D.16172、已知578abc，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c=考点二、黄金分割的应用1、如图所示，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点（即BD是AB与AD的比例中项），则AC=，CD=（保留根号）CABD5MPNBDAC2、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到最好效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm考点三、相似三角形中的线段、面积问题1、如图，E为平行四边形ABCD的边DC延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE分别交BC、BD于点F、G．若BD＝12cm，求DG的长2、如图所示，△ABC是等边三角形，被一有两边平行于BC的矩形所截，AB被截成三部分，则图中的阴影部分的面积是△ABC的面积的（）A．19B．29C．13D．493、如图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=4、已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积5、如图，在Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，则a、b、c满足的关系式是（）A.b=a+cB.b=acC.b2=a2+c2D.b=2a=2c6、如图所示，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，P是BC边上一点，作PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，设BP=x，则PD+PE=（）A.5x+3B.4-5xC.72D.21212525xx7、在正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M，交AB于点N，交CB的延长线于点P。若MN=1，PN=3，求DM的长度。第2题第3题68、如图，M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形的面积分别是4，9，49，则△ABC的面积是9、（2006年温州）如图，在直线m上摆故着三个正三角形:△ABC、△HFG、△DCE,已知BC=12CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1,S2,S3,若S1+S3=10，则S2=.10、（2008年温州）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为．11、（2009•温州）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第张第11题第12题12、如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DFEC的面积之比是考点四、相似三角形中的定值问题1、如图所示，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P是AD的中点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，AB=3，BC=4，（1）求PE+PF的值；（2）当点P在AD上移动时，（不与AD的中点重合），则PE+PF的值是否会变化？若不变化，请加以证明；若变化，请说明理由。EFODACBP第8题第10题7FABCDE2、如图，已知平面直角坐标系中，直线3xy交x轴于点B，交y轴于点C。M为第一象限内一点，且MC垂直于OC，连OM，作CP⊥OM于点P，连BP，过P点作EP⊥BP交y轴于点E，问：当点M运动时，CECM的值是否发生变化，若不变求出值；若变化求出变化范围。考点五、相似在实际生活中的应用1、一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有（）A.0种B.1种C.2种D.3种2、如图所示，已知零件的外径为a，要求出它的厚度x，需先求出内径AB，但又不能直接量出AB，现有一个交叉卡（两条直尺长AC＝BD）去量，若1OCODOAOBn，且量得CD＝b，求厚度x．3、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图1）（1）他们在△AMD和△BMC地带上种