初中数学【8年级上】14.2.1 平方差公式

14.2乘法公式14.2乘法公式14.2.1平方差公式人教版数学八年级上册14.2乘法公式某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.导入新知观察与思考14.2乘法公式1.掌握平方差公式的推导及应用.2.了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.素养目标14.2乘法公式多项式与多项式是如何相乘的？(x＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn探究新知知识点1平方差公式14.2乘法公式面积变了吗？a米5米5米a米(a–5)相等吗？探究新知14.2乘法公式①(x＋1)(x–1)；②(m＋2)(m–2)；③(2m＋1)(2m–1)；④(5y＋z)(5y–z).计算下列多项式的积，你能发现什么规律？做一做探究新知x2–12m2–22(2m)2–12(5y)2–z2这些计算结果有什么特点？想一想14.2乘法公式(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.公式变形:1.(a–b)(a+b)=a2–b22.(b+a)(–b+a)=a2–b2探究新知平方差公式14.2乘法公式注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2相同为a相反为b，–b适当交换合理加括号探究新知平方差公式14.2乘法公式1.公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项式或者多项式；2.左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数；3.右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.(a+b)(a–b)=a2–b2.温馨提示探究新知14.2乘法公式(1+x)(1–x)(–3+a)(–3–a)(0.3x–1)(1+0.3x)(1+a)(–1+a)aba2–b21x–3a12–x2(–3)2–a2a1a2–120.3x1(0.3x)2–12(a–b)(a+b)填一填探究新知14.2乘法公式口答下列各题：(1)(–a+b)(a+b)=_________.(2)(a–b)(b+a)=__________.(3)(–a–b)(–a+b)=________.(4)(a–b)(–a–b)=_________.a2–b2a2–b2b2–a2b2–a2做一做探究新知14.2乘法公式例1计算：(1)(3x＋2)(3x–2)；(2)(–x+2y)(–x–2y).(2)原式=(–x)2–(2y)2=x2–4y2.解：(1)原式=(3x)2–22=9x2–4；素养考点1利用平方差公式计算易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.探究新知14.2乘法公式1.利用平方差公式计算：(1)(3x–5)(3x＋5)；(2)(–2a–b)(b–2a)；(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；巩固练习14.2乘法公式例2计算:(1)102×98;(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5).=1002–22解:(1)102×98=10000–4=(100＋2)(100–2)=9996；=y2–4–y2–4y+5(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5)=y2–22–(y2+4y–5)=–4y+1.通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.素养考点2利用平方差公式简便运算探究新知14.2乘法公式(1)51×49;(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2).解:(1)原式=(50＋1)(50–1)=502–12=2500–1=2499；(2)原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)=9x2–16–6x2–5x+6=3x2–5x–10.巩固练习2.计算:14.2乘法公式例3先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)原式＝5×12–5×22＝–15.＝4x2–y2–4y2＋x2＝5x2–5y2.当x＝1，y＝2时，素养考点3利用平方差公式进行化简求值探究新知14.2乘法公式3.先化简,再求值:(3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.巩固练习解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)=9–x2+2(x2–1)=9–x2+2x2–2=7+x2当x=2时，原式=7+22=7+4=1114.2乘法公式例4对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．解：原式＝9n2–1–(9–n2)＝10n2–10.∵(10n2–10)÷10=n2–1.n为正整数，∴n2–1为整数素养考点4利用平方差公式进行证明探究新知14.2乘法公式对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．归纳总结探究新知14.2乘法公式巩固练习4.如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续整数的平方差是8的倍数.证明：(2n+1)2–(2n–1)2=[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)]=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n×2=8n因为8n是8的倍数，所以结论成立.14.2乘法公式例5王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？∵a2＞a2–16，解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，∴李大妈吃亏了．素养考点5利用平方差公式解决实际问题探究新知14.2乘法公式解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．归纳总结探究新知14.2乘法公式1.化简(x–1)(x+1)的结果是．连接中考2.某同学化简a(a+2b)–(a+b)(a–b)出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab–(a2–b2)(第一步)=a2+2ab–a2–b2(第二步)=2ab–b2(第三步)(1)该同学解答过程从第步开始出错，错误原因是；(2)写出此题正确的解答过程．原式=a2+2ab–(a2–b2)=a2+2ab–a2+b2=2ab+b2．x2–1二去括号时没有变号巩固练习14.2乘法公式1.下列运算中，可用平方差公式计算的是()A．(x＋y)(x＋y)B．(–x＋y)(x–y)C．(–x–y)(y–x)D．(x＋y)(–x–y)C2.计算(2x+1)(2x–1)等于()A．4x2–1B．2x2–1C．4x–1D．4x2+1A3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．10基础巩固题课堂检测14.2乘法公式(1)(a+3b)(a–3b)；=4a2–9；=4x4–y2.原式=(2a+3)(2a–3)=a2–9b2；=(2a)2–32原式=(–2x2)2–y2原式=(a)2–(3b)2(2)(3+2a)(–3+2a)；(3)(–2x2–y)(–2x2+y).4.利用平方差公式计算：课堂检测基础巩固题解:解:解:14.2乘法公式5.计算：20152–2014×2016.解：20152–2014×2016=20152–(2015–1)(2015+1)=20152–(20152–12)=20152–20152+12=1课堂检测基础巩固题14.2乘法公式6.利用平方差公式计算:(1)(a–2)(a+2)(a2+4)解:原式=(a2–4)(a2+4)=a4–16.(2)(x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4–y4)(x4+y4)=x8–y8.课堂检测基础巩固题14.2乘法公式先化简，再求值：(x＋1)(x–1)＋x2(1–x)＋x3，其中x＝2.解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3=2x2–1.将x＝2代入上式，原式=2×22–1=7.能力提升题课堂检测14.2乘法公式已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝1–x4(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；1–xn+1–632n＋1–2x100–1拓广探索题课堂检测14.2乘法公式平方差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.1.符号表示：(a+b)(a–b)=a2–b22.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.课堂小结14.2乘法公式课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习