直线与方程-高考理科数学试题

（四十）直线与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一)直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系1．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D由直线的方程得直线的斜率为k＝－33，设倾斜角为α，则tanα＝－33，所以α＝5π6.2．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是()A．k∈RB．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10D．k∈R且k≠±5，k≠1解析：选C由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，则k＝－10.故若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10.故选C.3．(2018·山东省实验中学月考)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC的位置关系是________．解析：由题意可得直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－sinAa，bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率k2＝bsinB，故k1k2＝－sinAa·bsinB＝－1，则直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直．答案：垂直4．若直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：设直线l的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－2k，令－31－2k3，解得k－1或k12.故其斜率的取值范围为(－∞，－1)∪12，＋∞.答案：(－∞，－1)∪12，＋∞对点练(二)直线的方程1．两直线xm－yn＝a与xn－ym＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是()解析：选B直线方程xm－yn＝a可化为y＝nmx－na，直线xn－ym＝a可化为y＝mnx－ma，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.2．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是()A．x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝2解析：选A∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴其方程为x＝2.3．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3)B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1)D．y－3＝－3(x－1)解析：选D设点B的坐标为(a,0)(a0)，由OA＝AB，得12＋32＝(1－a)2＋(3－0)2，则a＝2.∴点B(2,0)．易知kAB＝－3，由两点式，得AB的方程为y－3＝－3(x－1)．4．(2018·北京西城区月考)已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________________．解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝05．已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b.则直线l的方程为__________________．解析：①若a＝3b＝0，则直线过原点(0,0)，此时直线斜率k＝－12，直线方程为x＋2y＝0.②若a＝3b≠0，设直线方程为xa＋yb＝1，即x3b＋yb＝1.因为点P(2，－1)在直线上，所以b＝－13.从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.答案：x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0对点练(三)直线的交点、距离与对称问题1．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角α为()A．135°B．45°C．30°D．60°解析：选B由题意知，PQ⊥l，∵kPQ＝a＋1－bb－1－a＝－1，∴kl＝1，即tanα＝1，∴α＝45°.故选B.2．已知点A(1，－2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()A．－2B．－7C．3D．1解析：选C因为线段AB的中点1＋m2，0在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.3．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)解析：选C设P(x,5－3x)，则d＝|x－5＋3x－1|12＋－12＝2，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A．(0,4)B．(0,2)C．(－2,4)D．(4，－2)解析：选B直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．5．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c＋2a的值为________．解析：由题意得，63＝a－2≠c－1，∴a＝－4，c≠－2.则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0.∴21313＝c2＋113，∴c＋2＝±4，∴c＋2a＝±1.答案：±16.如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kFDkA1F，即kFD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)7．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为_________________．解析：由x－2y＋3＝0，2x＋3y－8＝0，得x＝1，y＝2，∴l1与l2交点为(1,2)，设所求直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，∵P(0,4)到直线的距离为2，∴2＝|－2－k|1＋k2，解得k＝0或k＝43，∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.答案：y＝2或4x－3y＋2＝0[大题综合练——迁移贯通]1．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．(1)若l1∥l2，求b的取值范围；(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－a2＋122＋14，因为a2≥0，所以b≤0.又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，所以ab＝a＋1a，|ab|＝a＋1a≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.2．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．解：(1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由2x＋y＋1＝0，x＋y－1＝0，得x＝－2，y＝3，所以直线l恒过定点(－2,3)．(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．又直线PA的斜率kPA＝4－33＋2＝15，所以直线l的斜率kl＝－5.故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.3．过点P(4,1)作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解：设直线l：xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以4a＋1b＝1.(1)因为4a＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以当a＝8，b＝2时，S△AOB＝12ab最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为4a＋1b＝1，a＞0，b＞0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥5＋2ab·4ba＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0.