直线与方程知识点归纳

第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:k=y2-y1/x2-x13.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即（充要条件）注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有l1∥l22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121kkll（充要条件）3.2.1直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线l经过点),(000yxP，且斜率为k)(00xxkyy2、、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为),0(bbkxy3.2.2直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211yxPxxP其中),(2121yyxxy-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为A)0,(a，与y轴的交点为B),0(b，其中0,0ba3.2.3直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式22122121()()PPyyxx3.3.1两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1：3x+4y-2=0L2：2x+y+2=0解：解方程组34202220xyxy得x=-2，y=2所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）3.3.2两点间距离两点间的距离公式3.3.3点到直线的距离公式1．点到直线距离公式：点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd基础练习一选择题1．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3)D．y＋2＝33(x－3)答案：C2．如下图所示，方程y＝ax＋1a表示的直线可能是()答案：B3．已知直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，则它们的图象可能为()答案：C4．经过原点，且倾斜角是直线y＝22x＋1倾斜角2倍的直线是()A．x＝0B．y＝0C．y＝2xD．y＝22x答案：D5．欲使直线(m＋2)x－y－3＝0与直线(3m－2)x－y＋1＝0平行，则实数m的值是()A．1B．2C．3D．不存在解析：把直线化为斜截式，得出斜率，通过直线平行的条件计算．答案：B6．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为()A．(3,2)B．(2,3)C．(2，－3)D．(－2,3)解析：直线方程改写为y－3＝k(x－2)，则过定点(2,3)．答案：B7．若直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距是3，则m的值是()A.25B．6C．－25D．－6解析：令y＝0，得(m＋2)x＝2m，将x＝3代入得m＝－6，故选D.答案：D8．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是()A.x3＋y2＝1B.x2＋y3＝1C.x3－y2＝1D.x2－y3＝1答案：B9．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距为()A．|b|B．±bC．b2D．－b2答案：D10．下列四个命题中是真命题的是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示答案：B11．直线ax＋by＝1(a，b≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是()A.12abB.12|ab|C.12abD.12|ab|解析：直线ax＋by＝1可化为x1a＋y1b＝1，故其围成的三角形的面积为S＝121|a|1|b|＝12|ab|.答案：D12．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()A．2x＋y－1＝0B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝0答案：A13．直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则a的值等于()A．－1或3B．1或3C．－3D．－1解析：由题意，两直线斜率存在，由l1∥l2知1a－2＝a3≠62a，∴a＝－1答案：D14．直线3x－2y－4＝0的截距式方程是()A.3x4－y4＝1B.x13－y12＝4C.3x4＋y－2＝1D.x43＋y－2＝1答案：D15．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A．4x＋2y＝5B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5D．x－2y＝5解析：kAB＝1－23－1＝－12，由k·kAB＝－1得k＝2.由中点坐标公式得x＝1＋32＝2，y＝2＋12＝32，∴中点坐标为2，32.由点斜式方程得y－32＝2(x－2)，即4x－2y＝5.答案：B16．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝()A．－1B．1C．±1D．－32解析：由(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0化简得1－a2＝0，∴a＝±1.答案：C17．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则()A．C＝0，B0B．A0，B0，C＝0C．AB0，C＝0D．AB0，C＝0答案：D18直线的截距式方程xa＋yb＝1化为斜截式方程为y＝－2x＋b，化为一般式方程为bx＋ay－8＝0.求a，b的值（）解析：由xa＋yb＝1，化得y＝－bax＋b＝－2x＋b，又可化得：bx＋ay－ab＝bx＋ay－8＝0，则ba＝2，且ab＝8.解得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.19．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标为()A．(4,1)B．(1,4)C.43，13D.13，43答案：C20．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点是P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是()A．3x＋2y＝0B．2x－3y＋5＝0C．2x＋3y＋1＝0D．3x＋2y＋1＝0答案：C21．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|等于()A.895B.175C.135D.115解析：易知A(0，－2)，B－1，25，|AB|＝135.答案：C22．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于()A．5B．42C．25D．210解析：设A(x,0)，B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝－2＋－2－2＝20＝25.答案：C23．已知M(1,0)，N(－1,0)，点P在直线2x－y－1＝0上移动，则|PM|2＋|PN|2的最小值为________．答案：2.424．已知点(3，m)到直线x＋3y－4＝0的距离等于1，则m等于()A.3B．－3C．－33D.3或－33解析：|3＋3m－4|2＝1，解得m＝3或－33.答案：D25．两平行线y＝kx＋b1与y＝kx＋b2之间的距离是()A．b1－b2B.|b1－b2|1＋k2C．|b1－b2|D．b2－b1解析：两直线方程可化为kx－y＋b1＝0，kx－y＋b2＝0.∴d＝|b1－b2|1＋k2.答案：B26．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A．x＋2y－5＝0B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0D．3x＋y－5＝0解析：所求为过A(1,2)，且垂直OA的直线，∴k＝－12，∴y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.答案：A27．点P(m－n，－m)到直线xm＋yn＝1的距离等于()A.m2＋n2B.m2－n2C.n2－m2D.m2±n2解析：直线方程可化为nx＋my－mn＝0，故d＝－－m2－mn|m2＋n2＝|mn－n2－m2－mn|m2＋n2＝m2＋n2.答案：A28．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是()A．4B.21313C.52613D.72613解析：由题意m＝4，则d＝|－6－1|36＋16＝752＝7213＝71326.答案：D29．垂直于直线x－3y＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程是________．解析：由题意，可设所求直线方程为3x＋y＋c＝0，则|c|2＝5.∴|c|＝10，即c＝±10.答案：3x＋y－10＝0或3x＋y＋10＝030．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是()A．8B．22C.2D．16答案：A31．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为()A．3x－4y－11＝0B．3x－4x＋9＝0C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0答案：C强化练习一选择题1．直线y＝－2x＋3的斜率和在y轴上的截距分别是()A．－2,3B．3，－2C．－2，－2D．3,3[答案]A2．过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为()A．x＝1B．x＝3C．y＝1D．y＝3[答案]A3．方程y－y0＝k(x－x0)()A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线[答案]D[解析]直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．4．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于()A．2B．1C．0D．－1[答案]B[解析]根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k1＝a，k2＝2－a.两直线平行，则有k1＝k2.所以a＝2－a，解得a＝1.5．方程y＝ax＋1a表示的直线可能是()[答案]B[解析]直线y＝ax＋1a的斜率是a，在y轴上的截距是1a.当a0时，斜率a0，在y轴上的截距是1a0，则直线y＝ax＋1a过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a0时，斜率a0，在y轴上的截距是1a0，则直线y＝ax＋1a过第二、三、四象限，仅有选项B符合．6．与直线y＝－2x＋3平行，且与直线y＝3x＋4交于x轴上的同一点的直线方程是()A．y＝－2x＋4B．y＝12x＋4C．y＝－2x－83D．y＝12x－83[答案]C[解析]y＝3x＋4与x轴交点为(－43，0)，又与直线y＝－2x＋3平行，故所求直线方程为y＝－2(x＋43)即y＝－2x－83故选C.7．直线l：y－1＝k(x＋2)的倾斜角为135°，则直线l在y轴上的截距是()A．1B．－1C.22D．－2[答案]B[解析]∵倾斜角为135°，∴k＝tan135°＝－tan45°＝－1，∴直线l：y－1＝－(x＋2)，令x＝0得y＝－1.8．等边△PQ