直线与方程知识点总结与典型习题分类练习解析(精品)

卓越个性化教案GFJW09011学生姓名年级高一授课时间教师姓名课时02直线与方程【知识点】（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk（P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx④截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,ab。⑤一般式：0CByAx（A，B不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数）；平行于y轴的直线：ax（a为常数）；（6）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,//bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21//ll；方程组有无数解1l与2l重合卓越个性化教学讲义2（8）两点间距离公式：设1122(,),AxyBxy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121||()()ABxxyy（9）点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（10）两平行直线距离公式已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd（11）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyBxA（C为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyAxB（C为常数）（三）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：00xxkyy，直线过定点00,yx；（ⅱ）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。【课堂讲解与练习】直线的方程1.设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC，∴cacababa3333，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2，∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.2.（2009·宜昌调研）若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么xy的最大值为（）A.21B.33C.23D.3答案D3.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；（2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l2的方程是y=43x,求直线l1,l3的方程.解（1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx,将（-5，2）代入y=kx中，得k=-52，此时，直线方程为y=-52x,即2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为ayax2=1，将（-5，2）代入所设方卓越个性化教学讲义3程，解得a=-21，此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.（2）设直线l2的倾斜角为,则tan=43.于是tan2=sincos1=3153541,tan2=724)43(1432tan1tan222,所以所求直线l1的方程为y-6=31(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=724(x-8),即24x-7y-150=0.4.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程.解方法一设直线l的方程为1byax（a＞0,b＞0）,∴A(a,0),B(0,b),∴.123,24baab解得.4,6ba∴所求的直线方程为46yx=1,即2x+3y-12=0.方法二设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-k2,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.∴k23(2-3k)=24.解得k=-32.∴所求直线方程为y-2=-32(x-3).即2x+3y-12=0.9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围.解方法一直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点.kAP=1011=-2，kAQ=2021=23，则-m1≥23或-m1≤-2，∴-32≤m≤21且m≠0.又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，∴所求m的取值范围是-32≤m≤21.方法二过P、Q两点的直线方程为y-1=1212(x+1),即y=31x+34,代入x+my+m=0,整理，得x=-37mm.由已知-1≤-37mm≤2,解得-32≤m≤21.两直线方程例1已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1⊥l2时，求a的值.卓越个性化教学讲义4解（1）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1:y=-xa2-3,l2:y=xa11-(a+1),l1∥l2)1(3112aaa，解得a=-1,综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.方法二由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-1×6≠0,∴l1∥l2061)1(021)1(2aaaa6)1(0222aaaaa=-1,故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.（2）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立.当a≠1时，l1:y=-2ax-3,l2:y=xa11-(a+1),由2a·a11=-1a=32.方法二由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=32.例3（12分）已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.解方法一若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A（3，-4），B（3，-9），截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.若直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立，由011)3(yxxky,解得A141,123kkkk.8分由061)3(yxxky,解得B191173kk，kk,由两点间的距离公式，得2173123kkkk+2191141kkkk=25，解得k=0,即所求直线方程为y=1.综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.方法二设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5①6分又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25②联立①②可得052121yyxx或502121yyxx,10分由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，卓越个性化教学讲义5故所求的直线方程为x=3或y=1.例4求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.解方法一由132xyxy知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得221122kkk=22)1(2322，解得k=21(k=2舍去)，∴直线l2的方程为x-2y=0.方法二设所求直线上一点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P22,200yyxx在直线l上.∴122110000xxyyxxyy，变形得1100xyyx,代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.分类例题解析3.1直线的倾斜角与斜率3.1．1倾斜角与斜率【典型例题】题型一求直线的倾斜角例1已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（）.A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°变式训练：设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l，则1l的倾斜角为（）。A.45B.135C.135D.当0°≤α＜135°时为45，当135°≤α＜180°时，为135题型二求直线的斜率例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.变式训练：已知过两点22(2,3)Amm,2(3,2)Bmmm的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.卓越个性化教学讲义6题型三直线的倾斜角与斜率的关系例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）.A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2拓展一三点共线问题例4已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．变式训练:若三点P（2，3），Q（3，a），R(4，b)共线，那么下列成立的是（）.A．4,5abB．1baC．23abD．23ab拓展二与参数有关问题例5已知