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综合训练(三)轴对称第十三章轴对称A一、选择题1．(2015·重庆)下列图形中是轴对称图形的是()2．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是(2，3)，则点P坐标是()A．(－3，－2)B．(－2，3)C．(2，－3)D．(3，－2)3．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为()A．9B．12C．7或9D．9或12BB4．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是()A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A＝40°，∠B＝60°C．∠A＝20°，∠B＝80°D．∠A＝40°，∠B＝80°5．(2015·广西)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，则∠BAE＝()A．80°B．60°C．50°D．40°CD6．如图，CE平分∠ACB，CD＝CA，CH⊥AD于点H，则∠ECA与∠HCA的关系是()A．相等B．和等于90°C．和等于45°D．和等于60°7．如图，∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是()A．40°B．100°C．140°D．50°BB8．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为()A．6B．12C．32D．64C二、填空题9．请你写出3个字(可以是数字、字母、汉字)要求它们都是轴对称图形____________________________．10．点P(3a＋6，3－a)关于x轴的对称点在第四象限内，则a的取值范围为__________．11．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E，与BC交于点D，∠C＝15°，∠BAD＝60°，则△ABC是_________三角形．答案不唯一，如：田，H，3－2a3直角12．如图，CD是△ABC的边AB上的高，且AB＝2BC＝8，点B关于直线CD的对称点恰好落在AB的中点E处，则△BEC的周长为_____．13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，BE，CF交于点M，如果CM＝4，FM＝5，则BE等于______．121214．如图，点C，E和点B，D，F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠1＝90°，则∠A的度数是________．18°三、解答题15．如图，已知A(2，3)，B(1，1)，C(4，1)是平面直角坐标系中的三点．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2；(3)若△ABC中有一点P坐标为(x，y)，请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标．解：(1)图略(2)图略(3)(－x，y－3)16．如图，已知直线l及其两侧两点A，B.(1)在直线l上求一点O，使到A，B两点距离之和最短；(2)在直线l上求一点P，使PA＝PB；(3)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.解：图略(1)连接AB与l的交点O即为所求(2)作AB的垂直平分线，与l的交点P即为所求(3)作点B关于l的对称点B′，作直线AB′与l的交点Q即为所求17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠DCE＝∠ADC－90°＝35°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°，∴∠EAC＝90°－∠ACE＝20°，∴∠BAC＝2∠EAC＝40°18．如图，已知AD平分∠CAE，AD∥BC.(1)求证：△ABC是等腰三角形．(2)当∠CAE等于多少度时，△ABC是等边三角形？证明你的结论．(1)证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD.∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形(2)解：∠CAE＝120°时，△ABC是等边三角形．证明：∵∠CAE＝120°，∴∠BAC＝60°，由(1)知AB＝AC，∴△ABC是等边三角形19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC，由ASA可证△ADE≌△FCE，∴FC＝AD(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF，∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N.(1)若∠ABC＝70°，则∠MNA的度数是_______．(2)连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使由点P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC周长的最小值；若不存在，说明理由．50°解：(2)①∵AN＝BN，∴BN＋CN＝AN＋CN＝AC，∵AB＝AC＝8cm，∴BN＋CN＝8cm，∵△NBC的周长是14cm，∴BC＝14－8＝6(cm)②∵A，B关于直线MN对称，∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合，即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值，∴△PBC的周长最小值为14cm21．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．(1)直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G(如图①)，求证：AE＝CG；(2)直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M(如图②)，找出图中与BE相等的线段，并证明．证明：(1)∵AC＝BC，D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴∠BCG＝∠ACB＝45°＝∠A，又∵∠ACE与∠CBG都与∠BCE互余，∴∠ACE＝∠CBG，∴△ACE≌△CBG(ASA)，∴AE＝CG(2)BE＝CM.证明：易证△ADM≌△CDE，∴DM＝DE，又CD＝BD，∴DM＋CD＝DE＋BD，即CM＝BE22．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A(0，1)，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC.(1)当点B运动到(0，4)时，AC＝____；(2)∠CAP的度数为______；(3)当B点运动时，AE的长度是否发生变化？若不变，求出AE的值，若变化，说明变化的规律．解：(1)点拨：证明△PBO≌△PCA(SAS)(2)点拨：由(1)知∠PBO＝∠PCA，∴∠BAC＝∠BPC＝60°，又∠OAP＝60°，∴∠CAP＝60°(3)∵∠EAO＝60°，∠AEO＝30°，∴AE＝2AO＝2，故AE的值不变，为2460°