专题课堂(四)等腰三角形中的证明第十三章轴对称一、等腰三角形中常用的辅助线类型:(1)利用“三线合一”作“三线”中的“一线”;(2)利用垂线、平行线和截长补短,构造等腰三角形.【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于点E,交AC的延长线于点F,交BC于点D,且BE=CF.求证:DE=DF.分析:过点E作EG∥AC交BC于G,构造等腰△EBG,可得EB=EG=FC,再证△EGD≌△FCD即可.证明:过点E作EG∥AC交BC于点G,∴∠F=∠DEG,∠ACB=∠EGB.∵AB=AC,∴∠ACB=∠B,∴∠B=∠EGB,∴BE=EG.∵BE=CF,∴EG=CF.在△EGD和△FCD中,∠DEG=∠F,∠EDG=∠FDC,EG=FC,∴△EGD≌△FCD(AAS),∴DE=DF【对应训练】1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC的中点,AE=CF.求证:△DEF是等腰直角三角形.证明:连接AD.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°,∴∠B=∠C=45°.∵D是BC的中点,AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∴∠BAD=90°-∠B=45°,∠CAD=90°-∠C=45°,∴AD=BD,∠B=∠CAD.∵AB=AC,AE=CF,∴BE=AF.在△BDE和△ADF中,∵AD=BD,∠B=∠CAD,BE=AF,∴△BDE≌△ADF(SAS),∴DE=DF,∠BDE=∠ADF.∵∠BDE+∠EDA=90°,∴∠ADF+∠EDA=90°,即∠EDF=90°,∴△DEF是等腰直角三角形2.如图,在△ABC中,∠BAC=108°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于D,求证:BC=CD+AB.证明:在线段BC上截BE=BA,连接DE.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD=12∠ABC.在△ABD和△EBD中,∵BA=BE,∠ABD=∠EBD,BD=BD,∴△ABD≌△EBD(SAS),∴∠BED=∠A=108°,∠ADB=∠EDB.∵AB=AC,∠A=108°,∴∠ACB=∠ABC=12×(180°-108°)=36°,∴∠CDE=∠BED-∠C=72°.∵∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°,∴∠CDE=∠DEC,∴CD=CE,∴BC=BE+EC=AB+CD二、等腰三角形中常见的证明题型类型:(1)证明数量关系;(2)证明位置关系;(3)证明线段的和差关系.【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,∠ADB=60°,E是AD上一点,且有DE=DB.求证:AE=BE+BC.分析:延长DC至F,使CF=BD,连接AF,可证△ABD≌△ACF,从而可证△ADF是等边三角形,再证△DEB是等边三角形,即可证得结论.解:延长DC至F,使CF=BD,连接AF,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACF,由SAS可证△ABD≌△ACF,∴AD=AF.又∵∠ADB=60°,∴△ADF是等边三角形,∴AD=DF.∵DE=DB,∠ADB=60°,∴△DEB是等边三角形,∴DE=BE=DB=CF.∵AD=AE+DE,DF=DB+BC+CF,AE+DE=BE+BC+DE,∴AE=BE+BC【对应训练】3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,BE是高,相交于点H,且AE=BE,求证:AH=2BD.证明:∵AD,BE是△ABC的高,∴∠ADB=∠AEB=90°,又∵∠BHD=∠AHE,∴∠EBC=∠EAH,可证△BCE≌△AHE(ASA),∴AH=BC.又∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD,∴AH=2BD4.如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,求证:DE∥BC.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,∴∠AEB=∠ADC=90°,∴∠ABE=∠ACD,∴∠EBC=∠DCB,由AAS可证△BEC≌△CDB,∴BD=CE,即AD=AE,∴∠ADE=∠AED.又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角,∴∠ADE=∠ABC,∴DE∥BC