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专题课堂(三)轴对称第十三章轴对称一、轴对称图形与轴对称类型：(1)轴对称图形的识别；(2)轴对称的作图；(3)轴对称及轴对称性质的应用．【例1】如图，直线AD是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是____．3分析：根据轴对称的性质，由AD是△ABC的对称轴得到AD垂直平分BC，△BEF与△CEF关于AD对称，则AD⊥BC，BD＝CD，S△BEF＝S△CEF，故S阴影＝12S△ABC＝S△ABD＝12AD·BD，代值即可求出．【对应训练】1．(2015·北京)剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为()D2．如图，已知正方形ABCD的边长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和为____．83．(2015·聊城)如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(－3，－1)．(1)将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．解：(1)图略，B1(－2，－1)(2)图略，C2(1，1)二、垂直平分线的性质与判定类型：(1)求线段的长和证明线段相等、垂直；(2)求角的度数和证明角相等；(3)解决选址问题．【例2】如图，△ABC中，BC＝10，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，则△ADE的周长是____．分析：△ADE的周长＝AD＋DE＋AE，由线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，AE＝EC，可得△ADE的周长＝BC.10【对应训练】4．(2015·达州)如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于E，交BD于F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为()A．48°B．36°C．30°D．24°5．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置．A解：连接AC，BC，作其垂直平分线，交点P即为所求(图略)6．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G.试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论．解：AD垂直平分EF.证明：由角平分线的性质可得DE＝DF，从而可证△AED≌△AFD(HL)，∴AE＝AF，∴A，D均在线段EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF三、等腰三角形的性质和判定性质：(1)等边对等角；(2)三线合一．判定：(1)定义；(2)等角对等边；(3)三线合一的逆用．注意：(1)在等腰三角形中，若没有指明腰和底边，顶角和底角，则要分类讨论；(2)“等边对等角”和“等角对等边”仅限于在同一个三角形中应用．【例3】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H.求证：H为BE的中点．分析：利用AB＝AC得出∠ABC＝∠ACB，再由∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠E得∠DBC＝∠E，证得△DBE为等腰三角形，由三线合一可得．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠DBC.∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∴∠ACB＝2∠E，∴∠DBC＝∠E，∴DB＝DE.∵DH⊥BE，∴BH＝EH，即H是BE的中点【对应训练】7．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，过点A的直线DE∥CB，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为()A．14B．16C．10D．12B8．(2015·南通)如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝____度．529．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．解：△ADE可以是等腰三角形．①当AD＝DE时，∵∠ADE＝40°，∴∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BDA＝∠C＋∠DAC＝110°；②当DE＝AE时，∵∠ADE＝40°，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∴∠BDA＝∠DAC＋∠C＝80°；③∵∠AED∠C＝40°，∴AD≠AE.综上可知，∠BDA的度数为110°或80°四、等边三角形的性质和判定性质：(1)三边相等；(2)三个角都是60°；(3)等腰三角形的一切性质．判定：(1)由三边相等判定；(2)由三角相等判定；(3)由两边相等，一个角为60°判定．【例4】如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F.求证：△OEF是等边三角形．分析：利用三角形外角的性质，可求得∠OEF＝∠OFE＝60°，从而证明△OEF是等边三角形．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OB平分∠ABC，∴∠OBE＝30°，由垂直平分线的性质知OE＝BE，∴∠BOE＝30°，∴∠OEF＝60°.同理∠OFE＝60°，∴∠EOF＝∠OEF＝∠OFE＝60°，∴△ABC是等边三角形【对应训练】10．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于()A．20°B．30°C．35°D．40°B11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝12BC，等边△BEF的顶点F在BC上，边EF交AD于点P，若BE＝10，BC＝14，则PE的长为____．412．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED＝EC＝DC＝2.∵∠DCE＝∠CEF＋∠F＝60°，∠F＝30°，∴∠CEF＝30°＝∠F，∴CF＝CE＝2，∴DF＝CD＋CF＝4