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初中数学知识点精讲课程.youyi100.com优翼微课共顶点的等腰三角形问题等腰三角形的两条腰相等，如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么将两条腰分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数量和位置上有着特殊的关系.常见的有共顶点的等腰直角三角形和等边三角形，我们一起来探究.典例精解类型一：共顶点的等腰三角形问题如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，求证：⑴BE＝CF；⑵BE⊥CF；⑴证明：∵∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠BAC＋∠1＝∠EAF＋∠1即∠EAB＝∠FAC又∵AB＝AC，AE＝AF∴△EAB≌△FAC∴BE＝CFMFCABE1典例精解类型一：共顶点的等腰三角形问题如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，求证：⑴BE＝CF；⑵求证：BE⊥CF；⑵证明：∵△EAB≌△FAC∴∠2＝∠4∵∠2＋∠3＋∠5＝90°∴∠4＋∠5＋∠3＝∠2＋∠5＋∠3＝90°∴BE⊥CFMFCABE35421变式题如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD，求证：∠DBE=45°.DBCAE证明：过D作DF⊥BE于F∵△ABC和△ADE为等腰直角三角形∴AE=ED，∠ACE=∠EFD∠1＝90°－∠2=∠3∴△ACE≌△EFD∴CE=FD，EF＝ACF∵AC=BC∴BC＝EF∴BC－FC＝EF－FC即BF＝CE∴BF＝FD∴△BFD是等腰直角三角形∴∠DBE＝45°.321典例精解类型二：共顶点的等边三角形如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.NMABC证明：∵△ACM和△BCN都为等边三角形，∴∠1＝∠3＝60°∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2即∠ACN＝∠MCB∵CA＝CM，CB＝CN∴△CAN≌△CMB(SAS)∴AN＝BM321变式题如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.如果改变两个三角形的相对位置，以上结论还成立吗？证明：∵△ACM和△BCN都为等边三角形，∴∠1＝∠3＝60°∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2即∠ACN＝∠MCB∵CA＝CM，CB＝CN∴△CAN≌△CMB(SAS)∴AN＝BM∴∠1－∠2＝∠3－∠2NAB1MC32课堂小结如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么将两条腰分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，并且我们会发现：改变两个三角形的相对位置并不会改变所得的三角形的全等关系.