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13.3等腰三角形第十三章轴对称13．3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质知识点1：等边对等角1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为()A．40°B．50°C．60°D．70°2．(2015·南宁)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为()A．35°B．40°C．45°D．50°DA3．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，若∠1＝20°，则∠2的度数为()A．25°B．65°C．70°D．75°B4．(2015·毕节)如图，等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为_______．36°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB，即∠ABD＝∠ACD知识点2：三线合一6．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是()A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的角平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线7．(2015·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为()A．35°B．45°C．55°D．60°CC8．如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，则AD的长为____．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：BE＝CE.8证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴BE＝CE10．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数为()A．55°，55°B．70°，40°C．55°，55°或70°，40°D．以上都不对11．如图，一钢架NAM中，∠A＝15°，现要在角的内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架．若AP1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上()A．4根B．5根C．6根D．7根CB12．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为_______.13．(例题1变式)如图，在△ABC中，D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，求∠BAC的度数．45°解：∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AB＝AC＝CD，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠DAC.设∠B＝∠BAD＝∠C＝x°，则∠ADC＝∠DAC＝2x°，在△ACD中，有2x＋2x＋x＝180，∴x＝36，∴∠BAC＝3x°＝108°14．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF.求证：∠BAF＝∠ACF.证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD.∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∴∠FAC＝∠B，∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF15．(习题6变式)如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE.有下列论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以其中两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为__________________________________．(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题，然后证明)．①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①解：(2)若选①②⇒③，证法如下：过点A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM，∵AD＝AE，AM⊥BC，∴DM＝EM，∴BM－DM＝CM－EM，即BD＝CE.另两种选法可由证三角形全等而得16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝AE.(1)若∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数；(2)若∠BAC＝α(α30°)，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数；(3)猜想∠EDC与∠BAD的数量关系．(不必证明)解：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝12(180°－∠BAC)＝45°，∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝90°－30°＝60°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－∠DAC)＝60°，又∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝45°＋30°＝75°，∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝75°－60°＝15°，∴∠EDC的度数是15°(2)与(1)类似：∠B＝∠C＝12(180°－∠BAC)＝90°－12α，∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝90°－12α＋30°＝120°－12α，∵∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝α－30°，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－∠DAC)＝105°－12α，∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝(120°－12α)－(105°－12α)＝15°，∴∠EDC的度数是15°(3)∠EDC＝12∠BAD方法技能：1．对于底和腰不相等的等腰三角形，若条件中没有明确底和腰或底角和顶角，应在符合三角形三边关系或三内角和为180°的前提下分类讨论．2．等腰三角形中求角的度数的方法：①利用等边对等角得相等的角；②利用外角等于不相邻内角之和推出各角之间的关系；③利用三角形内角和定理列方程求解．3．“三线合一”是指在等腰三角形的前提下，“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高”只要知道其中“一线”，就能说明是其他“两线”．4．等腰三角形“三线合一”的性质常用来证明角相等、线段相等和线段垂直．易错提示：利用等腰三角形的性质解题时，考虑不全面而漏解．