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13.3等腰三角形第十三章轴对称13．3.1等腰三角形第2课时等腰三角形的判定知识点1：等腰三角形的判定1．在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是()A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3B．a∶b∶c＝2∶2∶3C．∠B＝50°，∠C＝80°D．2∠A＝∠B＋∠C2．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B＝()A．70°B．35°C．110°或35°D．110°DB3．如图，AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中一定是等腰三角形的是()A．△ABDB．△ACDC．△ACED．△ABCC4．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5cm，则AB＝________．5cm5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，过点D作DE⊥BC于点E，并与CA的延长线交于点F，试判断△ADF的形状，并说明理由．解：△ADF是等腰三角形．理由：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°，∴∠BDE＋∠B＝90°，∠F＋∠C＝90°，∴∠BDE＝∠F，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠F，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形知识点2：等腰三角形的性质和判定的综合运用6．(2015·陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A．2个B．3个C．4个D．5个D7．(练习2变式)如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为()A．6B．8C．10D．12C8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为____．99．(练习4变式)如图，AD和BC交于点O，AB∥DC，OA＝OB，试判断△OCD的形状，并说明理由．解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵AB∥CD，∴∠C＝∠B，∠D＝∠A，∴∠C＝∠D，∴OC＝OD，∴△OCD是等腰三角形10．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是()A．45海里B．35海里C．50海里D．25海里D11．如图，下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()DA．①②③B．①②④C．②③④D．①③④12．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是____．813．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD.(1)求证：BC＝AD；(2)求证：△OAB是等腰三角形．解：(1)由HL证Rt△ABC≌Rt△BAD得BC＝AD(2)由△ABC≌△BAD得∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形14．如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F.求证：AF＝FB.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC，∵EF∥AC，∴∠FEA＝∠EAC，∴∠FEA＝∠DAF，∴AF＝FE.∵BE⊥AE，∴∠FEA＋∠BEF＝90°，∠BAE＋∠FBE＝90°，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF15．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，易证△ABD≌△AED(SAS)，∴∠AED＝∠B，BD＝ED，∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠EDC＋∠C，∴2∠C＝∠EDC＋∠C，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴AC＝AE＋EC＝AB＋BD16．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图1，图2，图3是旋转得到的三种图形．(1)观察线段PD和PE之间有怎样的大小关系？并以图2为例说明理由；(2)△PBE是否构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．解：(1)PD＝PE.连接CP，则CP⊥AB，CP平分∠ACB，∴∠BPC＝90°，∠PCD＝∠PCB＝∠B＝45°，∴PC＝PB，可证∠DPC＝∠EPB，从而有△PCD≌△PBE(ASA)，∴PD＝PE(2)能．当点E在CB上时，如图1或图2，①若PE＝PB，则∠PEB＝∠B＝45°，此时，点D与点A重合，点E与点C重合；②若PE＝BE，则∠EPB＝∠B＝45°，∠PEB＝90°；③若BE＝BP，则∠PEB＝∠BPE＝12(180°－45°)＝67.5°；④如图3，当点E在CB的延长线上时，∠PBE＝135°是钝角，只能做顶角，故PB＝BE，则∠PEB＝∠BPE＝12(180°－135°)＝22.5°.综上可知，∠PEB＝45°或90°或67.5°或22.5°方法技能：等腰三角形的判定方法：(1)定义：三角形中有两条边相等；(2)判定定理：三角形中有两个角相等，从而得到边相等；(3)线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形，则这个点到这条线段两端点的距离相等，即可得到边相等．2．构造等腰三角形的方法：(1)角平分线＋平行线：由平行线的性质得到角相等，从而得到边相等；(2)角平分线＋垂线：逆用等腰三角形的三线合一的性质；(3)垂直平分线；(4)三角形中角的2倍关系．易错提示：不能正确运用等腰三角形的性质和判定，注意只有在同一个三角形中才成立．