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13.3等腰三角形第十三章轴对称13.3.2等边三角形第2课时含30°角的直角三角形的性质知识点：含30°角的直角三角形的性质1．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米B2．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AC的长是()A．2cmB．4cmC．6cmD．8cmB3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是()A．3.5B．4.2C．5.8D．74．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝10，则PD等于()A．10B．20C．5D．2.5DC5．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝____m.6．(2015·毕节)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝____．427．将一幅三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是____cm2.8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，试确定BC与AD的数量关系．并说明理由．18解：BC＝3AD.理由：易证∠B＝∠BAD＝∠C＝30°，∴AD＝BD，CD＝2AD，∴BC＝BD＋CD＝3AD9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，且BM＝3，则CM＝____．610．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元B11．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是()A．30°B．60°C．30°或150°D．不能确定12．如图，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°.求证：BD＝14AB.C证明：在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴BC＝12AB，在Rt△BCD中，∠B＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BD＝12BC，∴BD＝14AB13．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝30°，∠CBD＝90°，求证：AB＝2BC.证明：延长BD至E，使DE＝BD，连接AE，易证△ADE≌△CDB(SAS)，∴∠AED＝∠CBD＝90°，AE＝BC，∵∠ABD＝30°，∴AB＝2AE＝2BC14．台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测到距A市正北方向200千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以18千米/时的速度沿直线向C移动，且台风中心风力不变．已知每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，若A市所受风力不到4级，则称不受台风影响．根据以上信息回答下列问题：(1)A市是否会受到这次台风影响？说明理由．(2)若A市受影响，所受最大风力是几级？解：(1)作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∠B＝30°，AB＝200，∴AD＝12AB＝100千米．由题意知，受台风影响范围的半径为20×(12－4)＝160(千米)，∵AD＝100千米＜160千米，∴A市将受到台风影响(2)当台风中心位于D处时，A市所受风力最大，其风力为12－10020＝7(级)15．如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD＝2，求AF的长；(2)求当AD取何值时，DE＝EF?解：(1)∵BD＝AB－AD＝8－2＝6，又∵∠BDE＝90°－60°＝30°，∴BE＝12BD＝3，∴EC＝8－3＝5，∵∠FEC＝90°－60°＝30°，∴FC＝5×12＝52，∴AF＝8－52＝112(2)当DE＝EF时，△BDE≌△CEF(AAS)，∴BE＝CF，∵CF＝12CE，∴BE＝12CE，又∵BE＋CE＝8，∴CE＝163，∴BD＝163，∴AD＝8316．已知∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∠B＋∠D＝180°.(1)如图①，当∠B＝∠D时，求证：AB＋AD＝AC；(2)如图②，当∠B≠∠D时，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．证明：(1)由∠B＋∠D＝180°，∠B＝∠D，得∠B＝∠D＝90°，由已知得∠CAB＝∠CAD＝60°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°，∴AB＝12AC，AD＝12AC，∴AB＋AD＝AC(2)仍然成立．理由：过C作CE⊥AB延长线于E，作CF⊥AD于F.由角平分线的性质知CE＝CF，可证∠CBE＝∠D，由AAS可证△CBE≌△CDF，∴BE＝DF.由(1)可知AE＋AF＝AC，∴AB＋BE＋AD－DF＝AC，即AB＋AD＝AC方法技能：1．对于含30°角的直角三角形的性质，应用的前提在直角三角形中，结论是30°角所对的直角边是斜边的一半，而不是任一直角边是斜边的一半．2．该性质是利用等边三角形的“三线合一”证明的，它主要用来证明线段的倍数关系，或进行线段长度的计算．3．在有些题目中，若给出的角是15°角时，往往运用一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将15°角转化为30°角后，再利用这个性质解决问题．易错提示：利用“含30°角的直角三角形的性质”时易忽视30°角“所对”直角边而出错．