初中数学【8年级上】15.3 分式方程

15.3分式方程人教版数学八年级上册15.3分式方程第一课时第二课时15.3分式方程第一课时分式方程15.3分式方程一艘轮船在静水中的最大航速为20km/h,它沿江以最大航速顺流航行100km所用时间,与以最大航速逆流航行60km所用时间相等,江水的流速为多少?解:设江水的流速为vkm/h，根据题意，得导入新知这样的方程与以前学过的方程一样吗？15.3分式方程1.了解分式方程的概念．2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．素养目标3.了解解分式方程根需要进行检验的原因．15.3分式方程为要解决导入中的问题，我们得到了方程．仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？分式方程的概念探究新知知识点1方程与上面的方程有什么共同特征？21211023525==+--xxxx；；21133=+++xxxx追问1：分母中都含有未知数．15.3分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程的特征：分母中含有未知数.注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．探究新知你能再写出几个分式方程吗？追问2：15.3分式方程1.下列式子中，属于分式方程的是，属于整式方程的是（填序号）．22124112321112131453-+==--+=xxxxxxx（）；（）；（）；（）＞．（2）（1）巩固练习（3）15.3分式方程总结：这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．90603030=+-vv你能试着解分式方程吗？解分式方程探究新知知识点2问题1：这些解法有什么共同特点？问题2：15.3分式方程（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？探究新知想一想15.3分式方程（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．（2）利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．探究新知归纳总结15.3分式方程90603030=.+-vv例解分式方程9060303030303030+-=+-.+-vvvvvv（）（）（）（）90306030（）（）vv-=+.即6=.v解得则得到，3030+-vv（）（），方程两边同乘各分母的最简公分母探究新知15.3分式方程你得到的解是分式方程6=v90603030=+-vv的解吗？检验：把v=6代入分式方程得：左边=右边=左边=右边，所以v=6是原方程的解.253690630902524606-3060探究新知追问：15.3分式方程2110525=.--xx解分式方程：是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．5=x探究新知问题3：你得到的解是分式方程2110525=--xx5=x的解吗？该如何验证呢？追问1：15.3分式方程上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程的解是分式方程90306030-=+vv（）（）6=v90603030=+-vv5=x的解，而整式方程x＋5=10的解2110525=--xx却不是分式方程的解？探究新知追问2：原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．15.3分式方程检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．探究新知显然，第2种方法比较简便！15.3分式方程90603030=+-vv2110525=--xx回顾解分式方程与的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？探究新知问题4：基本思路：将分式方程化为整式方程.一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．15.3分式方程2.指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.①1223xx22411xx②解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；②最简公分母x2–1，去分母得2(x+1)=4；巩固练习15.3分式方程例1解下列方程：解分式方程-xx232解：方程的两边同乘以x(x–2)，得2x=3x–6解得：x=6检验：当x=6时，x（x–2）≠0.所以，原方程的解是x=6.探究新知素养考点115.3分式方程3.解下列方程：3221xx解：方程的两边同乘以2x(x+3)，得(x+3)=4x解得：x=1检验：当x=1时，2x（x+3）≠0.所以，原方程的解是x=1.巩固练习15.3分式方程31112-=.--+xxxx（）（）例2解方程解：方程两边同乘得=3.化简，得=3.解得=1.检验：当=1时，=0，因此x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.12-+xx（）（）212（）（）（）+--+xxxx12（）（）-+xx2+xxx解含有整式项的分式方程探究新知素养考点215.3分式方程解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.4.写出原方程的解.解分式方程的思路：分式方程整式方程去分母一化二解三检验探究新知15.3分式方程解分式方程的一般步骤：探究新知归纳总结分式方程整式方程x=ax=a是分式方程的解x=a不是分式方程的解最简公分母不为0最简公分母为0去分母解整式方程检验15.3分式方程4.解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（）8214578xxxxA.2(x–8)+5x=16(x–7)B.2(x–8)+5x=8C.2(x–8)–5x=16(x–7)D.2(x–8)–5x=8解析：原方程可以变形为，两边都乘以2（x–7）得2(x–8)+5x=8×2(x–7),即2(x–8)+5x=16(x–7).8)7(2578xxxxA巩固练习15.3分式方程易错易混点拨：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时，没有添括号．(因分数线有括号的作用）(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉.探究新知方法点拨15.3分式方程连接中考1.分式方程𝒙+𝟏𝒙+𝟏𝒙−𝟐=1的解是（）A．x=1B．x=–1C．x=3D．x=–3A2.关于x的分式方程𝟐𝒙+𝟑𝒙−𝒂=𝟎解为x=4，则常数a的值为（）A．a=1B．a=2C．a=4D．a=10D巩固练习15.3分式方程1.若关于x的分式方程𝒎−𝟑𝒙−𝟏=𝟏的解为x=2，则m的值为（）A．5B．4C．3D．2B基础巩固题课堂检测15.3分式方程2.方程𝟏𝟐𝒙=𝟐𝒙+𝟑的解为（）A．x=–1B．x=0C．x=𝟑𝟓D．x=1D课堂检测基础巩固题15.3分式方程已知关于x的方程有增根，求该方程的增根和k的值.解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx，整理，得x2+（k–2）x–4=0.因为有增根，所以增根为x=0或x=1.当x=0时，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根；当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,方程有增根x=1.211333xxkxxxx能力提升题课堂检测15.3分式方程解方程:1112251158811113324()()()()()()()()xxxxxxxxx拓广探索题课堂检测15.3分式方程xxxxxxxxx1111111113123253581113811113324解：方程可化为：课堂检测得xxx1111113111318解得x=–3，经检验：x=–3是原方程的根.15.3分式方程课堂小结解分式方程整式方程x=ax=a是分式方程的解x=a不是分式方程的解最简公分母不为0最简公分母为0去分母解整式方程检验分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.15.3分式方程第二课时列分式方程解应用题15.3分式方程1.解分式方程的一般步骤.(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.(2)解这个整式方程.(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.(4)写出原方程的根.利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗？导入新知15.3分式方程素养目标1.能找出实际问题中的等量关系，熟练地列出相应的方程.2.会解含有字母系数的分式方程.3.知道列方程解应用题为什么必须验根，掌握解题的基本步骤和要求.15.3分式方程甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？请审题分析题意设元列分式方程解应用题的步骤探究新知知识点115.3分式方程解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x–6）个零件，依题意得：经检验,x=18是原分式方程的解,且符合题意.答：甲每小时做18个，乙每小时做12个.由x＝18,得x–6=12解得探究新知15.3分式方程列分式方程解应用题的一般步骤：1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位统一.3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.4.解:解这个分式方程.5.验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符合实际意义.6.答:注意单位和语言完整.探究新知归纳总结15.3分式方程例1两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快?分析:甲队1个月完成总工程的,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______.利用分式方程解答工程问题探究新知素养考点115.3分式方程解:设乙队如果单独施工1个月完成总工程的.依题意得方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x，解得x=1.检验:x=1时，6x≠0,x=1是原分式方程的解.探究新知答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,而甲队1个月完成总工程的,可知乙队施工速度快.1315.3分式方程1.为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？巩固练习15.3分式方程解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题意得，解得：x=40.经检验x=40是原方程的解，所以1.5x=60.答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.巩固练习15.3分式方程skm所用的时间为h；提速后列车的平均速度为km/h，提速后列车运行km，所用时间为h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程:例2某列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？xx+vs+50=s解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，则提速前列车行驶（s+50）x+vs+50sx利用分式方程解答行程问题探究新知素养考点2（x+v）15.3分式方程去分母得：s(x+v)=x(s+50)去括号，得sx+sv=sx+50x.移项、合并同类项，得50x=xv.解得检验：由于v，s都是正数，时，x（