经典截长补短法巧解

1截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。……补短法（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……例：HPGFBACDE在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）HPGFBACDE方法二（好证不好想）HMPGFBACDE例题不详解。2（第2页题目答案见第3、4页）FEDCAB（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45o。求证：EF=DE+BF（1）变形aEFDCAB正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45o。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形bEFDCAB正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45o。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形cjFEABCD正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=45o。DB=DC，BDC=120o。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？（1）变形dFEDCAB正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15o，FAB=30o。AD=3求AEF的面积（1）解：（简单思路）3GFEDCAB延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90oAD=AB又DG=BF所以ADGABF（SAS）GAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90o=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF所以GAE=GAF-EAF=90o-45o=45oGAE=FAE=45o又AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE变形a解：（简单思路）GEFDCABEF=BF-DE在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90oAD=AB又DE=BG所以ADEABG（SAS）EAD=GABAE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90o=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE所以GAF=GAE-EAF=90o-45o=45oGAF=EAF=45o又AG=AEAF=AF所以EAFGAF（SAS）EF=GF=BF-BG=BF-DE变形b解：（简单思路）GEFDCABEF=DE-BF在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90oAD=AB又DG=BF所以ADGABF（SAS）GAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得4DAB=90o=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF所以GAE=GAF-EAF=90o-45o=45oGAE=FAE=45o又AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）EF=EG=ED-GD=DE-BF变形c解：（简单思路）GFEABCDEF=BE+FC延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。由ABC是正三角形得ABC=ACB=60o又DB=DC，BDC=120o所以DBC=DCB=30oDBE=ABC+DBC=60o+30o=90oACD=ACB+DCB=60o+30o=90o所以GCD=180o-ACD=90oDBE=DCG=90o又DB=DC，BE=CG所以DBEDCG（SAS）EDB=GDCDE=DG又DBC=120o=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG所以GDF=EDG-EDF=120o-60o=60oGDF=EDF=60o又DG=DEDF=DF所以GDFEDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC变形d解：（简单思路）延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。过E作EHAG.前面如（1）所证，ADGABF，EAGEAFGAD=FAB=30o，SEAG=SEAF在RtADG中，GAD=30o，AD=3AGD=60o，AG=2设EH=x在RtEGH中和RtEHA中AGD=60o，HAE=45oHG=33x，AH=xAG=2=HG+AH=33x+x,EH=x=3-3SEAF=SEAG=EHAG2=3-3.5（第5页题目答案见第6页）（2）OEDBAC正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。求证：AC/2=AD-EO（2）加强版FEMBDCAN正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。请问MN、AD、EF有什么数量关系？6（2）解：（简单思路）OEBDACG过E作EGAD于G因为四边形ABCD是正方形ADC=90o，BD平分ADC，ACBD所以ADB=ADC/2=45o因为AE平分DAC，EOAC，EGAD所以EAO=EAG，DGE=AOE=AGE=90o又AE=AE，所以AEOAEG（AAS）所以AG=AO，EO=EG又ADB=45o，DGE=90o所以DGE为等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2（2）加强版解：（简单思路）PFEMBDCANGQMN/2=AD-EF过E作EGAD于G，作EQAB于Q，过B做BPMN于P按照（2）的解法，可求证，GNEFNE（AAS）DGE为等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF，因为四边形ABCD为正方形，ABC=GAQ=BCM=90oBD平分ABC，BC=BAABD=ABC/2=45o，又EQB=90oEQB为等腰Rt三角形，BEQ=45o因为GAQ=EGA=EQA=90o所以四边形AGEQ为矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ//AGQEN=ENG又ENG=ENF，所以QEN=ENF由BC=BA，BCM=BAN=90o，CM=AN，所以BCMBAN（SAS）BM=BN，CBM=ABNABC=90o=ABM+CBM=ABM+ABN=MBN，又BM=BN所以MBN为等腰Rt三角形，又BP斜边MN于P，所以NPB为等腰Rt三角形。BP=MN/2，PNB=45o。BNE=ENF+PNBBEN=QEN+QEB又QEN=ENF，PNB=QEB=45o所以BNE=BENBN=BE，又PNB=QEB=45o=NBP=EBQ所以BEQBNP（SAS）EQ=BP因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2所以AD-EF=MN/2。