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1．(2020·云梦县期中)如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝8km，AD＝5km，BC＝3km，问5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？解：设AE＝xkm，则BE＝(8－x)km.∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴△ADE和△BCE都是直角三角形．∴DE2＝AD2＋AE2，CE2＝BE2＋BC2.又∵AD＝5km，BC＝3km，DE＝CE，∴52＋x2＝(8－x)2＋32，解得x＝3.答：5G信号塔E应该建在离A乡镇3km的地方．2．(2020·郯城县期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，将△ABC沿AE折叠使点C恰好落在AB边上的点F处．求BE的长．解：∵将△ABC沿AE折叠使点C恰好落在AB边上的点F处，∴AC＝AF＝6，EF⊥AB，CE＝EF.在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10.∴BF＝AB－AF＝10－6＝4.设BE＝x，则EF＝CE＝8－x.在Rt△BEF中，BE2＝EF2＋BF2，即x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5.即BE的长为5.3．(2020·昌平区期末)如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E.(1)求证：△ABE≌△CFE；解：(1)证明：∵长方形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，∴∠F＝∠D＝∠B＝90°，CD＝CF＝AB.又∵∠AEB＝∠CEF，∴△ABE≌△CFE(AAS)．(2)若AB＝4，AD＝8，求AE的长．(2)设AE＝x.∵△ABE≌△CFE，∴EC＝AE＝x.∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝8，BE＝8－x.在Rt△ABE中，BE2＋AB2＝AE2，则有(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴AE的长为5.方法总结：在折叠问题中列方程求线段长，步骤如下：(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段长为x)；(2)根据对称性用已知数或含x的代数式表示出相关线段的长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而得出所求线段的长．4．拉杆箱是人们出行的常用品，使用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面DN的距离(假设C点的位置保持不变)．解：如图，过C作CE⊥DN于点E，延长AA′交CE于点F，则∠AFC＝90°.设A′F＝xcm，则AF＝(55＋x)cm，AC＝65＋35＝100(cm)，A′C＝65cm.在Rt△A′CF中，CF2＝652－x2；在Rt△ACF中，CF2＝1002－(55＋x)2，∴652－x2＝1002－(55＋x)2，解得x＝25.∴A′F＝25cm.∴CF＝A′C2－A′F2＝60(cm)．又∵EF＝AD＝3(cm)，∴CE＝60＋3＝63(cm)，即拉杆把手C离地面DN的距离为63cm.