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数学人教八年级下第十八章勾股定理单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是()．A．6,7,8B．5,6,7C．4,5,6D．3,4,52．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a∶b＝3∶4，c＝10，则△ABC的面积为()．A．12B．24C．28D．303．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为有理数的边数为()．A．0B．1C．2D．34．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于()．[来源:]A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm5．已知在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，则下列结论错误的是()．A．△ABC是直角三角形，且∠B＝90°B．△ABC是直角三角形，且∠A＝60°C．△ABC是直角三角形，且AC是它的斜边D．△ABC的面积为606．下列命题的逆命题是真命题的是()．A．若a＝b，则|a|＝|b|B．全等三角形的周长相等C．若a＝0，则ab＝0D．有两边相等的三角形是等腰三角形7．三角形的三边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形8．如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为()．A．4B．6C．16D．55二、填空题(每小题4分，共20分)[来源:数理化网]9．如图，一棵树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处，树折断之前有__________米高．10．命题“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是__________，它是__________命题．11．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．若AE＝a，AB＝b，BF＝c，请写出a，b，c之间的一个等量关系为__________．12．在同一地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则至少飞了________米．13．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm,3dm,2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.三、解答题(共56分)14．(本小题满分10分)如图所示，隔湖有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上取一个点C，测得CA＝50m，CB＝40m，试求A，B两点间的距离．15．(本小题满分10分)为了减少交通事故的发生，“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条由东向西的城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路边车速监测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速监测仪的距离为50m，问这辆小汽车超速了吗？16．(本小题满分12分)如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN＝14AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．17．(本小题满分12分)[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．图1图2[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理．[知识拓展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明2abc.其证明步骤如下：∵BC＝a＋b，AD＝__________，又∵在直角梯形ABCD中有BC__________AD(填大小关系)，即__________，∴2abc.18．(本小题满分12分)如图，正方形网格MNPQ中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．(1)设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；②正方形ABCD的面积．[来源:](2)设MB＝a，BQ＝b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？参考答案1.答案：D2.答案：B设a＝3x(x＞0)，则b＝4x.根据勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝102.求得△ABC的两直角边的长分别为6和8，其面积为24.3.答案：B由勾股定理，得AB＝225126，BC＝223213，AC＝2234＝5.由此可以看出，只有AC的长度是有理数．4.答案：B由勾股定理得，AB＝22ACBC＝10cm，由折叠知AC＝AE＝6cm，设CD＝DE＝xcm，则BE＝AB－AE＝4cm，DB＝(8－x)cm.在Rt△DEB中，DE2＋BE2＝DB2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.故CD＝3cm.5.答案：B因为AB2＋BC2＝82＋152＝172＝AC2，所以△ABC是直角三角形，且AC为斜边，AC所对的角∠B＝90°，△ABC的面积＝12AB·BC＝60，无法推出∠A＝60°.6.答案：DA的逆命题是若|a|＝|b|，则a＝b.假命题；B的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形．假命题；C的逆命题是若ab＝0，则a＝0.假命题；D的逆命题是等腰三角形的其中两边相等．真命题．7.答案：B(a＋b)2－c2＝2ab，则a2＋b2＋2ab－c2＝2ab，即a2＋b2＝c2，此三角形是直角三角形．[来源:]8.答案：C由题意易得图形中的两个直角三角形是全等的．所以由勾股定理可得Sb＝Sa＋Sc＝5＋11＝16.[来源:数理化网]9.答案：810.答案：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°真把题中的结论作为条件，把条件作为结论，可知此命题为真命题．11.答案：c2＝a2＋b2在Rt△A′B′E中，A′E＝AE＝a，A′B′＝AB＝b，BF＝B′F＝B′E＝c，∴c2＝a2＋b2.12.答案：4113.答案：25如图，由题意知AC＝20，BC＝15，则AB＝22ACBC＝25.所以最短路程是25dm.14.解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝22225040ACBC＝30(m)．答：A，B两点间的距离是30m.15.解：小汽车超速了．理由：由勾股定理，得BC＝22225030ABAC＝40，所以小汽车的速度是40÷2＝20(m/s)．因为20m/s＝72km/h＞70km/h，所以小汽车超速了．16.解：猜想△CMN是直角三角形．设正方形ABCD的边长为4a，则AM＝2a，AN＝a，DN＝3a.在Rt△AMN中由勾股定理得，MN2＝5a2.同理可得CN2＝25a2，CM2＝20a2.所以MN2＋CM2＝CN2.所以△CMN是直角三角形．17.解：[定理表述]如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.[尝试证明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°.∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2.整理，得a2＋b2＝c2.[知识拓展]2c＜a＋b＜2c18.解：(1)①S△ABQ＝12AQ·BQ＝12×3×4＝6，S△BCM＝12BM·CM＝12×3×4＝6，S△CDN＝12CN·DN＝12×3×4＝6，S△ADP＝12DP·AP＝12×3×4＝6.②S正方形ABCD＝S正方形MNPQ－S△ABQ－S△BCM－S△CDN－S△ADP＝72－6－6－6－6＝25.(2)验证了勾股定理，证明过程如下：设AB＝c，S正方形ABCD＝S正方形MNPQ－S△ABQ－S△BCM－S△CDN－S△ADP，即c2＝(a＋b)2－12ab－12ab－12ab－12ab，∴c2＝a2＋b2，即直角三角形中两直角边长的平方和等于斜边长的平方．