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菱形一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2013·海南中考)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是()A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°2.如图,两条笔直的公路l1,l2相交于点O,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D,已知AB=BC=CD=DA=5千米,村庄C到公路l1的距离为4千米,则村庄C到公路l2的距离是()[来源:学科网ZXXK]A.3千米B.4千米C.5千米D.6千米3.(2013·玉林中考)如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下:甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.乙:分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.根据两人的作法可判断()A.甲正确,乙错误B.乙正确,甲错误C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2013·潍坊中考)如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件,使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)5.如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则EG2+FH2=.6.(2013·宜宾中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为.三、解答题(共26分)7.(8分)已知:如图所示,平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,AB的中点,若∠A=60°,AB=2AD.求证:MN⊥BD.8.(8分)(2013·盐城中考)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,连接AE,BD且AE=AB.(1)求证:∠ABE=∠EAD.(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是菱形.【拓展延伸】9.(10分)△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B,C重合),△ADE是以AD为一边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB,AC于点F,G,连接BE.[来源:学科网](1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.①求证:△AEB≌△ADC.②探究四边形BCGE是怎样的特殊四边形?并说明理由.(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立.(3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由.答案解析1.【解析】选B.由平移,得AC∥DE,AC=DE,∴四边形ACED是平行四边形;又∵BC=CE,∴当AC=BC时,AC=CE,∴四边形ACED是菱形.[来源:学科网ZXXK]2.【解析】选B.如图,连接AC,作CF⊥l1,CE⊥l2;∵AB=BC=CD=DA[来源:Z+xx+k.Com]=5千米,∴四边形ABCD是菱形,∴∠CAE=∠CAF,∴CE=CF=4千米.3.【解析】选C.甲的作法正确;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACN,∵MN是AC的垂直平分线,∴AO=CO,在△AOM和△CON中,∴△AOM≌△CON(ASA),∴MO=NO,∴四边形ANCM是平行四边形,∵AC⊥MN,∴四边形ANCM是菱形.乙的作法正确;∵AD∥BC,∴∠1=∠2,∠6=∠7,∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD,∴∠2=∠3,∠5=∠6,∴∠1=∠3,∠5=∠7,∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE.∵AF∥BE,且AF=BE,∴四边形ABEF是平行四边形.∵AB=AF,∴平行四边形ABEF是菱形.4.【解析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,已知AC⊥BD,所以只需添加条件使四边形ABCD为平行四边形即可,答案不唯一,如OA=OC等.答案:OA=OC(答案不唯一)5.【解析】连接EF,FG,GH,HE,∵点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴EF∥AC∥GH,EF=GH=AC=3,EH∥BD∥FG,EH=FG=BD=3,所以四边形EFGH是菱形,∴EG⊥FH.设EG,FH的交点为O.∴EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OH2=4(OE2+OH2)=4EH2=36.答案:366.【解析】∵AG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形,∵CF⊥BD,∴CF⊥AG,又∵点D是AC的中点,∴BD=DF=AC,∴四边形BGFD是菱形,设GF=x,则AF=13-x,AC=2x,在Rt△ACF中,AF2+CF2=AC2,即(13-x)2+62=(2x)2,解得:x=5,故四边形BDFG的周长=4GF=20.答案:207.【证明】连接DN,BM.∵四边形ABCD是平行四边形,∴ABCD,∵M,N分别是DC,AB的中点,∴DM=DC,BN=AB=AN,∴DMBN,∴四边形BMDN是平行四边形.∵AB=2AD,AB=2AN,∴AD=AN.∵∠A=60°,∴△ADN是等边三角形,∴DN=AN=BN,∴平行四边形BMDN是菱形,∴MN⊥BD.8.【证明】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD.又∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB.∴∠ABE=∠EAD.(2)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.[来源:Zxxk.Com]又∵∠AEB=2∠ADB,∠AEB=∠ABE,∴∠ABE=2∠DBC,∴∠ABD=∠DBC.∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.又∵四边形ABCD为平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.9.【解析】(1)①∵△ABC和△ADE都是等边三角形,∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,∴△AEB≌△ADC.②四边形BCGE是平行四边形,理由:由①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,∴EB∥GC.又∵EG∥BC,∴四边形BCGE是平行四边形.(2)①②都成立.(3)当CD=CB(∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形BCGE是菱形.理由:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.又∵CD=CB,∴BE=CB.由②得四边形BCGE是平行四边形,∴四边形BCGE是菱形.