初中数学【8年级下】4.勾股定理与分类讨论思想

初中数学知识点精讲课程勾股定理与分类讨论思想在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理abca2+b2＝c2典例精解类型一：直角边、斜边不明求长度例1：如果三条线段的长分别为3cm,xcm,5cm,这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x等于__________.解:(1)当以3cm,xcm为直角边，5cm为斜边时，可得52＝32+x2，(2)当以3cm,5cm为直角边，xcm为斜边时，可得32+52＝x2，解得x＝4；解得x＝；4或变式题已知一个直角三角形的两边长为6cm和8cm，则这个直角三角形的周长为__________________.(1)当6cm,8cm两边为直角边时，可得x2＝62+82，(2)当6cm,xcm为直角边，8cm为斜边时，可得62+x2＝82，解得x＝10,解得x＝,24cm或(14+)cm解:设第三边长为xcm，则三角形周长为6+8+10＝24；则三角形周长为6+8+＝14+.典例精解类型二：动点位置不明求长度例2：在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6，若点P在直线AC上（不与A、C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为_________________.62343或或解:(1)如图1，当∠C=60°，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；PACB图1(2)如图2，当∠C=60°，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；图2PCAB(3)如图3，当∠ABC=60°，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°-30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB=；2223PAAB图3CPAB(4)如图4，当∠ABC=60°，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°+30°=90°，∴PC==；2243BCPBCPAB图3典例精解类型三：腰不明，与勾股定理结合求长度例3：在等腰三角形ABC中，已知其中两边长为6cm和8cm，则等腰三角形ABC中高的长为：__________cm.解:(1)当6cm为腰,8cm为底时，如图1所示，可得62＝42+AD2，(2)当以8cm为腰，6cm为底时，如图2所示，可得82＝32+AD2，解得AD＝；解得AD＝；或变式题在等腰三角形ABC中，已知其中两边长为4cm和6cm，AD为△ABC底边上的高，则△ADC的周长为_______________cm.解:(1)当4cm为腰,6cm为底时，如图1所示，可得42＝32+AD2，(2)当以6cm为腰，4cm为底时，如图2所示，可得62＝22+AD2，解得AD＝；解得AD＝；或则△ADC周长＝4+3+＝7+；则△ADC周长＝6+2+＝10+；典例精解类型四：三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度例4：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm，则BC＝_________.解:(1)当AD在△ABC内部时，如图1所示，可得BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2,BCDA图1计算可得，BD＝9，CD＝5,可得BC＝BD+CD＝9+5＝14cm;典例精解ABCD图2例4：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm，则BC＝_________.解:(2)当AD在△ABC外部时，如图2所示，可得BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2,计算可得，BD＝9，CD＝5,可得BC＝BD-CD＝9-5＝4cm;类型四：三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度14cm或4cm变式题△ABC中，AB＝10cm，AC＝17cm，BC边上的高线AD＝8cm，求△ABC的周长.BCDA图1解:(1)当AD在△ABC内部时，如图1所示，可得BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2,计算可得，BD＝6，CD＝15,可得BC＝BD+CD＝6+15＝21cm;则△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+17+21＝48cm;变式题△ABC中，AB＝10cm，AC＝17cm，BC边上的高线AD＝8cm，求△ABC的周长？解:(2)当AD在△ABC外部时，如图2所示，可得BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2,计算可得，BD＝6，CD＝15,可得BC＝CD-BD＝15-6＝9cm;则△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+17+9＝36cm;ABCD图2课堂小结勾股定理与分类讨论思想直角边、斜边不明求长度动点位置不明求长度腰不明，与勾股定理结合求长度三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度…………