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A分点训练•打好基础B综合运用•提升能力录目页C思维拓展•冲刺满分知识点一矩形的性质1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是(D)A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD2．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的性质是(C)A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分3．(教材P53T2变式)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为cm.64．(2020·毕节中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6cm，BC＝8cm.则EF的长是cm.2.55．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F.若AB＝2，BC＝4，则图中阴影部分的面积为.4【变式题】图变，本质不变如图，矩形ABCD中，过对角线上一点O作GH∥BC，EF∥AB.若AB＝3，BC＝4，则图中的阴影部分的面积为.66．(改编题)如图，在矩形ABCD中，点E，F在BC上，且BF＝CE，AE，DF相交于点O.(1)求证：AE＝DF；证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC.∵BF＝CE，∴BF＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF.在△ABE和△DCF中，AB＝DC，∠B＝∠C，BE＝CF，∴△ABE≌△DCF(SAS)．∴AE＝DF.(2)若∠CDF＝60°，则∠DOE＝°.60知识点二直角三角形斜边上的中线的性质7．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点之间的距离为(D)A．0.5kmB．0.6kmC．0.9kmD．1.2km8．(2020·岳阳中考)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝°.709．如图，BE，CF分别是△ABC的高，点M为BC的中点，EF＝4，BC＝10，求△EFM的周长．解：∵BE，CF分别是△ABC的高，∴△EBC，△FBC都是直角三角形．∵M为BC的中点，BC＝10，∴ME＝MF＝12BC＝5.∴△EFM的周长为MF＋ME＋EF＝5＋5＋4＝14.10．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.若∠ADB＝30°，则∠E＝°.1511．(2020·菏泽中考)如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为.317在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD＝AB2＋AD2＝13.∵BP＝BA＝5，∴PD＝BD－BP＝8.∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ.∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DQP，∴∠DPQ＝∠DQP，∴DQ＝DP＝8.∴CQ＝DQ－CD＝DQ－AB＝8－5＝3.在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得BQ＝BC2＋CQ2＝317.12．如图①，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图②操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图③操作：沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A，H两点间的距离为.1013．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.(1)求证：OE＝OF；(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO.在△AOE和△COF中，∠OAE＝∠OCF，AE＝CF，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF(ASA)．∴OE＝OF.(2)若AD＝1，求AB的长．(2)解：连接OB，如图所示．∵BF＝BE，OE＝OF，∴BO⊥EF.由(1)知，△AOE≌△COF，∴OA＝OC.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝1.∴BO＝12AC＝OA.∴∠BAC＝∠OBA.又∠BEF＝2∠BAC，∴∠BEF＝2∠OBE.在Rt△OBE中，∠BEO＋∠OBE＝90°，∴∠OBE＝30°.∴∠BAC＝30°.∴AC＝2BC＝2.∴AB＝AC2－BC2＝3.14．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵BD＝AD，DG＝DC，∴△BDG≌△ADC.∴BG＝AC，∠BGD＝∠ACD.∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，∴DE＝12BG＝EG，DF＝12AC＝AF.∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD＝∠ACD，∠FDA＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝∠ACD＋∠FAD＝90°.∴DE⊥DF.(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．(2)解：∵AC＝10，∴DE＝DF＝5.由勾股定理得，EF＝DE2＋DF2＝52.21∶15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.M，N在对角线AC上，且AM＝CN，E，F分别是AD，BC的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠MAB＝∠NCD.在△ABM和△CDN中，AB＝CD，∠MAB＝∠NCD，AM＝CN，∴△ABM≌△CDN(SAS)．(2)点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．(2)解：如图，连接EF，交AC于点O.在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝CF＝BF.易证四边形ABFE是矩形，∴EF＝AB＝3.在△AEO和△CFO中，∠EOA＝∠FOC，∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，∴△AEO≌△CFO(AAS)．∴EO＝FO，AO＝CO.∴O为EF，AC的中点．∵∠EGF＝90°，∴OG＝12EF＝32.∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5.∴OA＝12AC＝52.如图，点G1在线段OA上，点G2在线段OC上，AG1＝OA－OG1＝1，AG2＝OA＋OG2＝4.∴AG的长为1或4.